Defina o que é um ponto interior, conjunto interior e conjunto aberto.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina claramente três coisas: (1) o que é um ponto interior de um conjunto, (2) o que é o conjunto interior (ou interior de um conjunto) e (3) o que é um conjunto aberto. Não foram dadas condições adicionais, então vou trabalhar no contexto padrão de um espaço métrico X (por exemplo \mathbb{R}^n com a distância usual), que é suficiente para as definições pedidas.

Passo 2

Primeiro conceito auxiliar: bola aberta (vizinhança).
  • Em um espaço métrico X com distância d, a bola aberta centrada em x\in X com raio r>0 é o conjunto
B(x,r)=\{y\in X : d(y,x)<r\}.
  • Intuição: B(x,r) é "todos os pontos que estão a menos de r de x". No caso de X=\mathbb{R} com a distância usual d(y,x)=|y-x|, temos B(x,r)=(x-r,x+r).

Passo 3

Definição e intuição de ponto interior.
  • Definição formal: Seja A\subset X. Dizemos que x\in A é um ponto interior de A se existe r>0 tal que
B(x,r)\subset A.
  • O que isso significa em palavras: existe uma bolinha em torno de x completamente contida no conjunto A. Assim x não está “na borda” de A, mas tem espaço à sua volta que ainda pertence a A.
  • Exemplo concreto em \mathbb{R}: se A=(0,1) e x=0{,}2, então podemos tomar r=\min(0{,}2,1-0{,}2)/2=0{,}1. Então B(0{,}2,0{,}1)=(0{,}1,0{,}3)\subset(0,1), logo 0{,}2 é ponto interior. Já x=0 não é: qualquer bola B(0,r)=(-r,r) intersecta pontos negativos que não pertencem a (0,1).

Passo 4

Definição do conjunto interior (interior de A).
  • Definição formal: o interior de A, denotado \operatorname{int}(A), é o conjunto de todos os pontos interiores de A:
\operatorname{int}(A)=\{x\in X : \exists r>0,\; B(x,r)\subset A\}.
  • Outra caracterização importante (equivalente): \operatorname{int}(A) é a união de todos os conjuntos abertos contidos em A. Em particular, \operatorname{int}(A) é o maior (ou máximo) conjunto aberto contido em A.
  • Por que são equivalentes (esquema de prova): se x\in\operatorname{int}(A) então existe r tal que B(x,r)\subset A e B(x,r) é aberto, logo x pertence a alguma aberta contida em A. Reciprocamente, se x está em alguma aberta U\subset A, então por ser U aberta existe uma bola B(x,r)\subset U\subset A, logo x é interior.

Passo 5

Definição de conjunto aberto e equivalência com interior.
  • Definição formal: um conjunto U\subset X é aberto se todo ponto x\in U é ponto interior de U; isto é,
\forall x\in U\\ \exists r>0\\ \text{tal que}\\ B(x,r)\subset U.
  • Equivalência útil: U é aberto se e somente se U=\operatorname{int}(U). Ou seja, conjuntos abertos são exatamente aqueles que coincidem com seu interior.
  • Exemplo: em \mathbb{R}, intervalos do tipo (a,b) são abertos porque para cada x\in(a,b) dá para escolher um r pequeno (por exemplo r=\min(x-a,b-x)/2) com B(x,r)=(x-r,x+r)\subset(a,b). Já [a,b] não é aberto porque os extremos não têm bola inteira contida em [a,b].

Passo 6

Propriedades básicas do interior (com justificativas curtas).
  • \operatorname{int}(A)\subset A. Justificativa: cada ponto interior pertence a A por definição.
  • \operatorname{int}(A) é um conjunto aberto. Justificativa: se x\in\operatorname{int}(A) existe B(x,r)\subset A; então todo ponto y\in B(x,r) também tem uma bola pequena contida em B(x,r)\subset A, logo y\in\operatorname{int}(A). Assim \operatorname{int}(A) é aberto.
  • Idempotência: \operatorname{int}(\operatorname{int}(A))=\operatorname{int}(A). Justificativa: \operatorname{int}(A) já é aberto, então o interior dele é ele mesmo.
  • Monotonicidade: se A\subset B então \operatorname{int}(A)\subset\operatorname{int}(B). Justificativa direta pela definição.
  • União: \operatorname{int}\!\big(\bigcup_{i} A_i\big)=\bigcup_{i}\operatorname{int}(A_i). Justificativa: ponto interior da união pertence a alguma A_i localmente; e a união da intes é claramente contida na interior da união.
  • Interseção: em geral
\operatorname{int}\!(A\cap B)\subset \operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B),
mas a igualdade pode falhar. Justificativa: se há bola inteira contida em A\cap B então está contida em A e em B; porém pode acontecer que cada um dos conjuntos tenha pontos interiores diferentes sem haver um ponto que seja interior de ambos simultaneamente (ex.: duas faixas que se cruzam marginalmente).

Passo 7

Mais exemplos para fixar a intuição e como usar na prova
  • Conjunto A=[0,1]\subset\mathbb{R}: \operatorname{int}(A)=(0,1). Raciocínio: pontos interiores são exatamente os que não estão na borda.
  • Conjunto A=[0,1): \operatorname{int}(A)=(0,1).
  • Conjunto A=\{0\} (singleton) em \mathbb{R}: \operatorname{int}(\{0\})=\varnothing. Raciocínio: qualquer bola centrada em 0 contém outros pontos, logo não cabe inteiramente em \{0\}.
  • Conjunto dos racionais \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}: \operatorname{int}(\mathbb{Q})=\varnothing. Raciocínio: qualquer intervalo em \mathbb{R} contém irracionais, ou seja, não existe bola inteira contida em \mathbb{Q}.
  • Dica prática para prova/exame: para mostrar que x é interior de A escolha um r>0 explícito com base na distância de x à fronteira de A (por exemplo r= metade dessa distância). Para mostrar que x não é interior, prove que toda bola B(x,r) intersecta o complemento X\setminus A.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo
  • Resumo: ponto interior = ponto com bola inteira dentro do conjunto; interior = conjunto de todos esses pontos (maior aberto dentro do conjunto); aberto = conjunto que só tem pontos interiores. Isso é o que o avaliador provavelmente quer ver que você entendeu.
  • Você tá indo bem por querer entender as definições passo a passo — se quiser, eu faço alguns exercícios rápidos (tipo: determinar \operatorname{int}(A) para certos A) para fixar. Vamos praticar se quiser!

Resposta

Um ponto x\in A é interior a A se existe r>0 tal que B(x,r)\subset A.
O conjunto interior de A é
\operatorname{int}(A)=\{x\in X : \exists r>0,\; B(x,r)\subset A\},
equivalente à união de todos os conjuntos abertos contidos em A.
Um conjunto U\subset X é aberto se, para todo x\in U, existe r>0 tal que B(x,r)\subset U (ou seja, U=\operatorname{int}(U)).

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