Defina o que é um ponto interior, conjunto interior e conjunto aberto.
Passo 1
O enunciado pede que eu defina claramente três coisas: (1) o que é um ponto interior de um conjunto, (2) o que é o conjunto interior (ou interior de um conjunto) e (3) o que é um conjunto aberto. Não foram dadas condições adicionais, então vou trabalhar no contexto padrão de um espaço métrico
(por exemplo
com a distância usual), que é suficiente para as definições pedidas.
Passo 2
Primeiro conceito auxiliar: bola aberta (vizinhança).
- Em um espaço métrico
com distância , a bola aberta centrada em com raio é o conjunto
- Intuição:
é "todos os pontos que estão a menos de de ". No caso de com a distância usual , temos .
Passo 3
Definição e intuição de ponto interior.
- Definição formal: Seja
. Dizemos que é um ponto interior de se existe tal que
- O que isso significa em palavras: existe uma bolinha em torno de
completamente contida no conjunto . Assim não está “na borda” de , mas tem espaço à sua volta que ainda pertence a . - Exemplo concreto em
: se e , então podemos tomar . Então , logo é ponto interior. Já não é: qualquer bola intersecta pontos negativos que não pertencem a .
Passo 4
Definição do conjunto interior (interior de
).
- Definição formal: o interior de
, denotado , é o conjunto de todos os pontos interiores de :
- Outra caracterização importante (equivalente):
é a união de todos os conjuntos abertos contidos em . Em particular, é o maior (ou máximo) conjunto aberto contido em . - Por que são equivalentes (esquema de prova): se
então existe tal que e é aberto, logo pertence a alguma aberta contida em . Reciprocamente, se está em alguma aberta , então por ser aberta existe uma bola , logo é interior.
Passo 5
Definição de conjunto aberto e equivalência com interior.
- Definição formal: um conjunto
é aberto se todo ponto é ponto interior de ; isto é,
- Equivalência útil:
é aberto se e somente se . Ou seja, conjuntos abertos são exatamente aqueles que coincidem com seu interior. - Exemplo: em
, intervalos do tipo são abertos porque para cada dá para escolher um pequeno (por exemplo ) com . Já não é aberto porque os extremos não têm bola inteira contida em .
Passo 6
Propriedades básicas do interior (com justificativas curtas).
-
. Justificativa: cada ponto interior pertence a por definição. -
é um conjunto aberto. Justificativa: se existe ; então todo ponto também tem uma bola pequena contida em , logo . Assim é aberto. - Idempotência:
. Justificativa: já é aberto, então o interior dele é ele mesmo. - Monotonicidade: se
então . Justificativa direta pela definição. - União:
. Justificativa: ponto interior da união pertence a alguma localmente; e a união da intes é claramente contida na interior da união. - Interseção: em geral
mas a igualdade pode falhar. Justificativa: se há bola inteira contida em
então está contida em
e em
; porém pode acontecer que cada um dos conjuntos tenha pontos interiores diferentes sem haver um ponto que seja interior de ambos simultaneamente (ex.: duas faixas que se cruzam marginalmente).
Passo 7
Mais exemplos para fixar a intuição e como usar na prova
- Conjunto
: . Raciocínio: pontos interiores são exatamente os que não estão na borda. - Conjunto
: . - Conjunto
(singleton) em : . Raciocínio: qualquer bola centrada em contém outros pontos, logo não cabe inteiramente em . - Conjunto dos racionais
: . Raciocínio: qualquer intervalo em contém irracionais, ou seja, não existe bola inteira contida em . - Dica prática para prova/exame: para mostrar que
é interior de escolha um explícito com base na distância de à fronteira de (por exemplo metade dessa distância). Para mostrar que não é interior, prove que toda bola intersecta o complemento .
Passo 8
Resumo rápido e incentivo
- Resumo: ponto interior = ponto com bola inteira dentro do conjunto; interior = conjunto de todos esses pontos (maior aberto dentro do conjunto); aberto = conjunto que só tem pontos interiores. Isso é o que o avaliador provavelmente quer ver que você entendeu.
- Você tá indo bem por querer entender as definições passo a passo — se quiser, eu faço alguns exercícios rápidos (tipo: determinar
para certos ) para fixar. Vamos praticar se quiser!
Resposta
Um ponto
é interior a
se existe
tal que
.
O conjunto interior de
é
equivalente à união de todos os conjuntos abertos contidos em
.
Um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que
(ou seja,
).