Defina o que é um ponto aderente, fecho e conjunto fechado.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir claramente três conceitos — (1) ponto aderente, (2) fecho de um conjunto e (3) conjunto fechado.
Informações dadas: nenhuma além da própria pergunta; portanto as definições serão dadas num contexto geral que costuma ser usado em cálculo / análise / topologia básica (espaço métrico e espaço topológico). Não serão feitas suposições extras sobre o espaço além do necessário; quando for importante, aviso a diferença entre o caso geral (topológico) e o caso concreto mais familiar (espaço métrico, por exemplo \mathbb{R}^n).

Passo 2

Intuição básica antes das definições formais (respira, a gente vai devagar).
  • Imagine um conjunto A desenhado no plano. Um ponto x é um ponto aderente de A quando, por mais pequeno que seja o círculo (vizinhança) centrado em x, esse círculo sempre toca A em algum ponto (pode ser o próprio x, se x\in A). Ou seja, não existe uma vizinhança de x que esteja totalmente afastada de A.
  • O fecho de A é a coleção de todos os pontos que “não conseguem escapar” de A no sentido acima — inclui A e todos os pontos-limite que estão arbitrariamente próximos de A.
  • Um conjunto é fechado quando ele já contém todos os seus pontos aderentes — não falta nenhum ponto-limite dentro dele. Outra maneira: o complemento de um conjunto fechado é um conjunto aberto.

Passo 3

Definição formal (em espaço topológico; a que é mais geral): primeiro explico o que é “vizinhança” sem entrar em tecnicismos demais.
  • Seja X um espaço topológico (ou um espaço métrico, se preferir). Para x\in X, uma vizinhança de x é qualquer conjunto que contenha um aberto que por sua vez contém x. Em espaços métricos é mais concreto: uma bola aberta B(x,\varepsilon)=\{y\in X:\\ d(x,y)<\varepsilon\} é um exemplo de vizinhança.
    Agora a definição de ponto aderente:
  • Dizemos que x\in X é um ponto aderente de A\subset X se toda vizinhança de x intersecta A; em símbolos:
\text{\(x\) é aderente a \(A\)}\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\; \text{vizinhança } U\text{ de }x,\; U\cap A\neq\varnothing.éç
Observação importante (diferença com ponto de acumulação): o ponto aderente permite que a interseção seja só \{x\} se x\in A. Já um ponto de acumulação (ou limite) exige que cada vizinhança contenha um ponto de A diferente de x.

Passo 4

Definição do fecho (duas formulações equivalentes — é útil conhecer ambas). Seja A\subset X.
  • Definição por pontos aderentes: o fecho de A, denotado \overline{A} ou \mathrm{cl}(A), é o conjunto de todos os pontos aderentes de A:
\overline{A}=\{x\in X:\\ \forall\\ \text{vizinhança }U\text{ de }x,\; U\cap A\neq\varnothing\}.ç
  • Definição por interseção de fechados (caracterização útil): \overline{A} é a menor superfície fechada que contém A; formalmente,
\overline{A}=\bigcap\{F\subset X:\\ F\text{ é fechado e }A\subset F\}.é
Depois eu mostro por que essas duas definições coincidem (é bom saber as duas porque uma é mais “construtiva” e a outra mais “universal”).

Passo 5

Propriedades básicas do fecho (coisas que caem em prova ou exame):
  1. \;A\subset\overline{A} (o fecho contém o conjunto).
  2. \;\overline{\overline{A}}=\overline{A} (fecho é idempotente; uma vez fechado, fechar de novo não acrescenta nada).
  3. Se A\subset B então \overline{A}\subset\overline{B} (monotonicidade).
  4. \overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B} (distribui sobre uniões; na verdade vale para uniões arbitrárias: \overline{\bigcup_{i}A_i}=\bigcup_i\overline{A_i}).
  5. Em geral \overline{A\cap B}\subset \overline{A}\cap\overline{B}, e a inclusão pode ser estrita.
Vou justificar rapidamente a propriedade (2) e a equivalência das definições (Passo 6 e 7).

Passo 6

Justificando que a interseção de todos os fechados que contêm A dá o mesmo que “todos os pontos aderentes” (ideia da prova):
  • Seja C=\bigcap\{F:\\ F fechado e A\subset F\}. Primeiro, cada conjunto fechado F que contém A deve conter todos os pontos aderentes de A (porque se x fosse aderente mas não estivesse em F, então X\setminus F é uma vizinhança aberta de x disjunta de A, contradizendo a aderência). Logo todos os pontos aderentes pertencem a C.
  • Por outro lado, C é fechado (interseção de fechados) e contém A; portanto contém a menor “coisa” fechada que contém A. Mas o conjunto de pontos aderentes é fechado (pode-se provar que seu complemento é aberto: se x não é aderente existe vizinhança de x que não intersecta A, essa vizinhança inteira está no complemento), e contém A. Assim a interseção C não pode ser menor do que o conjunto de pontos aderentes. Conclui-se que ambas as definições coincidem.

Passo 7

Caracterização por sequências (muito útil em espaços métricos como \mathbb{R}^n):
  • Em espaços métricos (ou mais geralmente em espaços de primeira contagem), vale: x\in\overline{A} se, e somente se, existe uma sequência (a_n) com a_n\in A para todo n e a_n\to x.
    Explicando por que isso é plausível: se há sequência em A que converge para x, então qualquer bola ao redor de x contém todos os a_n suficientemente grandes, logo intersecta A. No sentido inverso, em espaços métricos podemos construir uma sequência escolhendo para cada n um ponto de A dentro da bola B(x,1/n) (isso é possível porque cada bola intersecta A por aderência). Essa construção usa concretamente a métrica (o argumento do raio 1/n), por isso em topologias muito gerais precisamos de noções mais fortes (nets ou filtros).

Passo 8

Definição de conjunto fechado (várias formas equivalentes, decora as três mais usadas):
  • F\subset X é fechado se o seu complemento X\setminus F é aberto.
  • Equivalente: F é fechado se F=\overline{F} (ou seja, F contém todos os seus pontos aderentes).
  • Em espaço métrico: F é fechado se toda sequência convergente em X que tem termos em F tem limite em F.
Essas formas equivalentes são muito úteis na prova: frequentemente é mais fácil mostrar que o complemento é aberto ou mostrar que F contém todos os limites de sequências de pontos em F.

Passo 9

Exemplos concretos (é aqui que a intuição vira músculo):
  1. Em \mathbb{R} com a topologia usual, seja A=(0,1). Então \overline{A}=[0,1]. Porque qualquer vizinhança de 0 ou 1 intersecta (0,1), e pontos fora de [0,1] têm vizinhança que não toca (0,1). Consequentemente (0,1) não é fechado, pois \overline{(0,1)}\neq(0,1). Já [0,1] é fechado pois \overline{[0,1]}=[0,1].
  2. Conjunto finito em \mathbb{R}: cada singleton \{a\} é fechado (complemento (-\infty,a)\cup(a,\infty) é aberto). Em espaços métricos, singletons são sempre fechados.
  3. Conjunto \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}: o fecho \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}, porque em qualquer intervalo há racionais. Assim \mathbb{Q} não é fechado.

Passo 10

Como usar isso numa prova (dicas práticas para a hora da avaliação):
  • Se te pedem para provar que um conjunto F é fechado, tente mostrar uma das formas: (i) que X\setminus F é aberto; ou (ii) que F contém todos os seus pontos aderentes; ou (iii) em espaços métricos, que toda sequência em F que converge tem limite em F. Escolha a que for mais simples.
  • Para encontrar o fecho \overline{A} de um conjunto A, pense: “quais pontos qualquer bola ao redor deles sempre vai intersectar A?” Em \mathbb{R}^n costuma dar para “fechar buracos” e incluir pontos-limite óbvios (como extremos, fronteiras).
  • Lembre-se de distinguir ponto aderente de ponto de acumulação (ponto de acumulação exige pontos de A diferentes de x dentro de cada vizinhança).

Passo 11

Resumo rápido das diferenças entre termos (para fixar):
  • Ponto aderente: qualquer vizinhança intercepta A (pode ser pelo próprio x).
  • Ponto de acumulação: toda vizinhança contém um ponto de A distinto de x.
  • Fecho: conjunto de todos os pontos aderentes.
  • Conjunto fechado: conjunto que já é igual ao seu fecho.

Resposta

Ponto aderente: x é ponto aderente de A\subset X se \forall vizinhança U de x tem U\cap A\neq\varnothing.
Fecho: \overline{A}=\{x\in X:\\ \forall vizinhança U de x,\\ U\cap A\neq\varnothing\} (equivalente a \overline{A}=\bigcap\{F\subset X:\\ F fechado e A\subset F\}).
Conjunto fechado: F\subset X é fechado se X\setminus F é aberto (equivalente a F=\overline{F}, ou em espaços métricos: toda sequência em F que converge tem limite em F).

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