Num caminho aleatório em uma dimensão, depois de
passos a partir da origem, a posição é dada por
onde
é um conjunto de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas, dadas pela distribuição de probabilidades
onde
e
são constantes positivas. Depois de
passos, qual o deslocamento médio a partir da origem? Qual o valor do desvio quadrático médio da variável aleatória
? Para
grande, qual a forma da distribuição gaussiana associada a esse problema? Como é que seus resultados se modificariam se em cada passo o deslocamento fosse
sempre positivo, com probabilidades iguais de se situar em qualquer ponto no intervalo entre
e
?
sempre positivo, com probabilidades iguais de se situar em qualquer ponto no intervalo entre
Passo 1
O enunciado dá uma caminhada unidimensional com
passos a partir da origem, em que a posição final é
onde as variáveis
são independentes e identicamente distribuídas com a densidade
com
e
constantes.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Qual o deslocamento médio a partir da origem (isto é,
)? - Qual o valor do desvio quadrático médio da variável aleatória
(interpreto como ; também será útil )? - Para
grande, qual a forma da distribuição gaussiana associada a esse problema (ou seja, a forma aproximada do pdf de )? - Como mudam os resultados se cada passo for sempre positivo e uniformemente distribuído no intervalo
com ?
Todos os dados relevantes do enunciado já estão listados acima.
Passo 2
Vamos calcular o valor médio de um único passo
. Lembre-se: o valor esperado (média) de uma variável contínua
com densidade
é
Aqui
é uma gaussiana centrada em
com variância
. Uma propriedade básica da gaussiana é que sua média é o centro. Portanto,
Se preferir ver pelo integral, uma mudança de variável
leva a um integrando ímpar do termo linear em
, que se anula, restando
.
Passo 3
Porque os passos
são independentes e idênticos, a esperança da soma é a soma das esperanças (linearidade da esperança):
Isto responde a pergunta do deslocamento médio: a posição média após
passos é
vezes
. Intuição: cada passo tem tendência média de avançar
, então em
passos anda-se em média
.
Passo 4
Agora calculamos a variância (desvio quadrático médio) de um único passo
. Para a gaussiana dada, por definição a variância é
:
Isso pode ser mostrado pelo integral ou lembrando a parametrização padrão da gaussiana deslocada.
Passo 5
A variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias. Assim,
O desvio padrão (root-mean-square) é
. Também é útil a média do quadrado:
Passo 6
Agora a forma da distribuição de
. Há duas observações:
- Se cada
é exatamente gaussiana como dada, a soma de gaussiana independentes é exatamente uma gaussiana (não só no limite). Podemos provar com funções características ou convolução: a função característica de um é
Para a soma
a função característica é
. A transformada inversa dá uma gaussiana com média
e variância
. Portanto a densidade exata é
- Se a distribuição dos passos não fosse gaussiana, então para
grande o Teorema Central do Limite (TCL) diz que a soma se aproxima de uma gaussiana com média e variância , desde que e sejam finitas. No nosso caso gaussiana é exata; se não fosse, o TCL garantiria apenas a aproximação para grande.
Passo 7
Agora tratamos o caso modificado: cada passo é sempre positivo e uniformemente distribuído em
A média de uma uniforme no intervalo
. Aqui
e
, portanto
A variância de uma uniforme em
é
. Aqui
, então
Passo 8
Pelo mesmo raciocínio de independência e soma:
Para
grande, pelo Teorema Central do Limite a distribuição de
aproxima-se de uma gaussiana com média
e variância
, ou seja
Observação extra (opcional): a distribuição exata da soma de
variáveis uniformes é a distribuição de Irwin–Hall (uma função polinomial por partes), deslocada aqui por
, mas para muitos propósitos práticos a aproximação gaussiana já basta quando
é grande.
Passo 9
Resumo intuitivo e dicas para a prova (rápido e prático):
- Lembre-se: média da soma = soma das médias; variância da soma (variáveis independentes) = soma das variâncias. Essas duas regras resolvem direto a maior parte do problema.
- Para gaussiana original: soma também é gaussiana exatamente. Use função característica ou convulsão se quiser justificar.
- Para qualquer distribuição com média e variância finitas, o TCL dá aproximação gaussiana para
grande. - Cuidado com interpretações: “desvio quadrático médio” aqui usei como variância
; se pedirem o RMS, é .
Resposta
Para passos uniformes em