Num caminho aleatório em uma dimensão, depois de N passos a partir da origem, a posição é dada por
x=\sum_{j=1}^{N} s_{j}
onde \left\{s_{j}\right\} é um conjunto de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas, dadas pela distribuição de probabilidades
w(s)=\left(2 \pi \sigma^{2}\right)^{-1 / 2} e^{\left[-\frac{(s-l)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right]}
onde \sigma e l são constantes positivas. Depois de N passos, qual o deslocamento médio a partir da origem? Qual o valor do desvio quadrático médio da variável aleatória x ? Para N grande, qual a forma da distribuição gaussiana associada a esse problema? Como é que seus resultados se modificariam se em cada passo o deslocamento fosse
sempre positivo, com probabilidades iguais de se situar em qualquer ponto no intervalo entre l-b e l+b, \operatorname{com} 0<b<l ?

Passo 1

O enunciado dá uma caminhada unidimensional com N passos a partir da origem, em que a posição final é
x=\sum_{j=1}^{N}s_j,
onde as variáveis s_j são independentes e identicamente distribuídas com a densidade
w(s)=\left(2\pi\sigma^{2}\right)^{-1/2}\exp\!\left[-\frac{(s-l)^{2}}{2\sigma^{2}}\right],
com \sigma>0 e l>0 constantes.
As perguntas são:
  1. Qual o deslocamento médio a partir da origem (isto é, \langle x\rangle)?
  2. Qual o valor do desvio quadrático médio da variável aleatória x (interpreto como \operatorname{Var}(x)=\langle (x-\langle x\rangle)^2\rangle; também será útil \langle x^2\rangle)?
  3. Para N grande, qual a forma da distribuição gaussiana associada a esse problema (ou seja, a forma aproximada do pdf de x)?
  4. Como mudam os resultados se cada passo for sempre positivo e uniformemente distribuído no intervalo [\,l-b,\;l+b\,] com 0<b<l?
Todos os dados relevantes do enunciado já estão listados acima.

Passo 2

Vamos calcular o valor médio de um único passo s. Lembre-se: o valor esperado (média) de uma variável contínua s com densidade w(s) é
\langle s\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} s\,w(s)\,ds.
Aqui w(s) é uma gaussiana centrada em s=l com variância \sigma^{2}. Uma propriedade básica da gaussiana é que sua média é o centro. Portanto,
\langle s\rangle = l.
Se preferir ver pelo integral, uma mudança de variável u=s-l leva a um integrando ímpar do termo linear em u, que se anula, restando l.

Passo 3

Porque os passos s_j são independentes e idênticos, a esperança da soma é a soma das esperanças (linearidade da esperança):
\langle x\rangle = \left\langle \sum_{j=1}^{N}s_j\right\rangle = \sum_{j=1}^{N}\langle s_j\rangle = N\,l.
Isto responde a pergunta do deslocamento médio: a posição média após N passos é N vezes l. Intuição: cada passo tem tendência média de avançar l, então em N passos anda-se em média Nl.

Passo 4

Agora calculamos a variância (desvio quadrático médio) de um único passo s. Para a gaussiana dada, por definição a variância é \sigma^{2}:
\operatorname{Var}(s)=\langle (s-\langle s\rangle)^2\rangle=\sigma^{2}.
Isso pode ser mostrado pelo integral ou lembrando a parametrização padrão da gaussiana deslocada.

Passo 5

A variância da soma de variáveis independentes é a soma das variâncias. Assim,
\operatorname{Var}(x)=\operatorname{Var}\!\left(\sum_{j=1}^{N}s_j\right)=\sum_{j=1}^{N}\operatorname{Var}(s_j)=N\,\sigma^{2}.
O desvio padrão (root-mean-square) é \sqrt{\operatorname{Var}(x)}=\sqrt{N}\,\sigma. Também é útil a média do quadrado:
\langle x^2\rangle = \operatorname{Var}(x) + \langle x\rangle^2 = N\sigma^{2} + N^{2}l^{2}.

Passo 6

Agora a forma da distribuição de x. Há duas observações:
  • Se cada s_j é exatamente gaussiana como dada, a soma de gaussiana independentes é exatamente uma gaussiana (não só no limite). Podemos provar com funções características ou convolução: a função característica de um s_j é
\phi_{s}(k)=\exp\!\left(i k l - \tfrac{1}{2}\sigma^{2}k^{2}\right).
Para a soma x a função característica é \phi_x(k)=\phi_s(k)^N=\exp\!\left(i k Nl - \tfrac{1}{2}N\sigma^{2}k^{2}\right). A transformada inversa dá uma gaussiana com média Nl e variância N\sigma^{2}. Portanto a densidade exata é
P_N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi N\sigma^{2}}}\exp\!\left[-\frac{(x-Nl)^{2}}{2N\sigma^{2}}\right].
  • Se a distribuição dos passos não fosse gaussiana, então para N grande o Teorema Central do Limite (TCL) diz que a soma se aproxima de uma gaussiana com média N\mu e variância N\operatorname{Var}(s), desde que \mu e \operatorname{Var}(s) sejam finitas. No nosso caso gaussiana é exata; se não fosse, o TCL garantiria apenas a aproximação para N grande.

Passo 7

Agora tratamos o caso modificado: cada passo é sempre positivo e uniformemente distribuído em [\,l-b,\;l+b\,]\) com \(0<b<l\). Primeiro a densidade de um passo é \[u(s)=\begin{cases} \dfrac{1}{2b}, & s\in[\,l-b,\;l+b\,],\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
A média de uma uniforme no intervalo [a,c]\] é \((a+c)/2. Aqui a=l-b e c=l+b, portanto
\langle s\rangle = \frac{(l-b)+(l+b)}{2}=l.
A variância de uma uniforme em [a,c] é (c-a)^2/12. Aqui c-a=2b, então
\operatorname{Var}(s)=\frac{(2b)^2}{12}=\frac{b^{2}}{3}.]

Passo 8

Pelo mesmo raciocínio de independência e soma:
\langle x\rangle = N l, \qquad \operatorname{Var}(x)=N\cdot\frac{b^{2}}{3}=\frac{N b^{2}}{3}.
Para N grande, pelo Teorema Central do Limite a distribuição de x aproxima-se de uma gaussiana com média Nl e variância N b^{2}/3, ou seja
P_N(x)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi (N b^{2}/3)}}\exp\!\left[-\frac{(x-Nl)^{2}}{2(N b^{2}/3)}\right].
Observação extra (opcional): a distribuição exata da soma de N variáveis uniformes é a distribuição de Irwin–Hall (uma função polinomial por partes), deslocada aqui por Nl, mas para muitos propósitos práticos a aproximação gaussiana já basta quando N é grande.

Passo 9

Resumo intuitivo e dicas para a prova (rápido e prático):
  • Lembre-se: média da soma = soma das médias; variância da soma (variáveis independentes) = soma das variâncias. Essas duas regras resolvem direto a maior parte do problema.
  • Para gaussiana original: soma também é gaussiana exatamente. Use função característica ou convulsão se quiser justificar.
  • Para qualquer distribuição com média e variância finitas, o TCL dá aproximação gaussiana para N grande.
  • Cuidado com interpretações: “desvio quadrático médio” aqui usei como variância \operatorname{Var}(x)=\langle (x-\langle x\rangle)^2\rangle; se pedirem o RMS, é \sqrt{\operatorname{Var}(x)}.

Resposta

\langle x\rangle = N\,l
\operatorname{Var}(x)=\langle (x-\langle x\rangle)^2\rangle = N\,\sigma^{2} \quad (e \langle x^2\rangle = N\sigma^{2}+N^{2}l^{2})
P_N(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi N\sigma^{2}}}\exp\!\left[-\dfrac{(x-Nl)^{2}}{2N\sigma^{2}}\right] (forma gaussiana; aqui é exata porque cada s_j é gaussiano)
Para passos uniformes em [l-b,l+b]: \langle x\rangle = Nl,\\ \operatorname{Var}(x)=N\frac{b^{2}}{3}, e para N grande P_N(x)\approx\dfrac{1}{\sqrt{2\pi (N b^{2}/3)}}\exp\!\left[-\dfrac{(x-Nl)^{2}}{2(N b^{2}/3)}\right].

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