Dois bêbados começam a caminhar sobre uma linha reta, a partir da origem, dando passos de mesmo comprimento para a direita ou para a esquerda, com a mesma probabilidade. Suponha que os passos dos dois sejam simultâneos. Ache a probabilidade de que eles se encontrem novamente depois de dar
passos.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações já temos.
- Dois caminhantes começam na origem
e andam sobre a mesma linha reta. - Em cada passo, cada um anda uma unidade para a direita ou uma unidade para a esquerda, com probabilidade
para cada direção. - Os dois dão os passos simultaneamente e os passos de cada um são independentes dos do outro.
- Precisamos achar a probabilidade de que, após
passos, os dois estejam na mesma posição (ou seja, “se encontrem novamente”).
As perguntas implícitas que vamos responder: qual é a condição para que eles se encontrem após
passos e qual é a probabilidade disso acontecer em função de
.
Passo 2
Modelagem simples e variável relevante: em vez de acompanhar as posições diretas, conte quantos passos para a direita cada um deu.
- Seja
o número de passos para a direita dados pelo primeiro bêbado em passos. - Seja
o número de passos para a direita dados pelo segundo bêbado em passos.
Cada um percorre
passos onde cada passo é “direita” com probabilidade
. Logo,
e
são variáveis aleatórias independentes com distribuição binomial:
Passo 3
Relacionar encontros com essas contagens: a posição final de cada caminhar depois de
passos é a diferença entre direitos e esquerdos.
- A posição final do primeiro é
. - Análogomente,
.
Para que
(eles se encontrem), é necessário e suficiente que
, ou seja
Portanto o evento “encontram-se ao final de
passos” é
.
Passo 4
Expressar a probabilidade pedida como soma de probabilidades sobre o valor comum
de
.
Como
e
são independentes,
Cada termo é dado pela binomial:
Passo 5
Substituindo na soma:
Agora resta simplificar a soma
.
Passo 6
Provar a identidade combinatória usada:
.
Argumento combinatório (intuitivo e útil na prova): conte o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos que está dividido em dois blocos distintos de
elementos cada. Para obter um subconjunto de
elementos, pode-se escolher exatamente
elementos do primeiro bloco e
do segundo. O número de formas para cada
é
. Somando sobre todos os
possíveis obtemos todas as escolhas de
elementos entre
, portanto
Passo 7
Substituindo essa identidade na expressão da probabilidade:
Essa é a fórmula fechada e muito simples: a probabilidade de que, depois de
passos simultâneos, os dois bêbados estejam na mesma posição é
.
Passo 8
Pequena checagem por
pequeno (para ganhar confiança):
- Para
: . Verificando diretamente: após um passo eles se encontram se ambos foram para a mesma direção — probabilidade . OK. - Para
: . Pode-se verificar enumerando as combinações de pares de passos; em 6 delas . OK.