Dois bêbados começam a caminhar sobre uma linha reta, a partir da origem, dando passos de mesmo comprimento para a direita ou para a esquerda, com a mesma probabilidade. Suponha que os passos dos dois sejam simultâneos. Ache a probabilidade de que eles se encontrem novamente depois de dar N passos.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações já temos.
  • Dois caminhantes começam na origem 0 e andam sobre a mesma linha reta.
  • Em cada passo, cada um anda uma unidade para a direita ou uma unidade para a esquerda, com probabilidade 1/2 para cada direção.
  • Os dois dão os passos simultaneamente e os passos de cada um são independentes dos do outro.
  • Precisamos achar a probabilidade de que, após N passos, os dois estejam na mesma posição (ou seja, “se encontrem novamente”).
As perguntas implícitas que vamos responder: qual é a condição para que eles se encontrem após N passos e qual é a probabilidade disso acontecer em função de N.

Passo 2

Modelagem simples e variável relevante: em vez de acompanhar as posições diretas, conte quantos passos para a direita cada um deu.
  • Seja R_X o número de passos para a direita dados pelo primeiro bêbado em N passos.
  • Seja R_Y o número de passos para a direita dados pelo segundo bêbado em N passos.
Cada um percorre N passos onde cada passo é “direita” com probabilidade 1/2. Logo, R_X e R_Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição binomial:
R_X \sim \operatorname{Bin}(N,\tfrac12),\qquad R_Y \sim \operatorname{Bin}(N,\tfrac12).

Passo 3

Relacionar encontros com essas contagens: a posição final de cada caminhar depois de N passos é a diferença entre direitos e esquerdos.
  • A posição final do primeiro é X_N = (\text{#direitas de }X) - (\text{#esquerdas de }X) = R_X - (N-R_X) = 2R_X - N.
  • Análogomente, Y_N = 2R_Y - N.
Para que X_N = Y_N (eles se encontrem), é necessário e suficiente que 2R_X - N = 2R_Y - N, ou seja
R_X = R_Y.
Portanto o evento “encontram-se ao final de N passos” é \{R_X = R_Y\}.

Passo 4

Expressar a probabilidade pedida como soma de probabilidades sobre o valor comum k de R_X=R_Y.
Como R_X e R_Y são independentes,
\mathbb{P}(R_X=R_Y)=\sum_{k=0}^{N}\mathbb{P}(R_X=k,\;R_Y=k) =\sum_{k=0}^{N}\mathbb{P}(R_X=k)\,\mathbb{P}(R_Y=k).
Cada termo é dado pela binomial:
\mathbb{P}(R_X=k)=\binom{N}{k}\Big(\tfrac12\Big)^N, \quad \mathbb{P}(R_Y=k)=\binom{N}{k}\Big(\tfrac12\Big)^N.

Passo 5

Substituindo na soma:
\mathbb{P}(\text{encontro em }N) =\sum_{k=0}^{N}\left[\binom{N}{k}\Big(\tfrac12\Big)^N\right]^2 =\Big(\tfrac14\Big)^N\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}^2.
Agora resta simplificar a soma \sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}^2.

Passo 6

Provar a identidade combinatória usada: \displaystyle \sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}^2=\binom{2N}{N}.
Argumento combinatório (intuitivo e útil na prova): conte o número de maneiras de escolher N elementos de um conjunto com 2N elementos que está dividido em dois blocos distintos de N elementos cada. Para obter um subconjunto de N elementos, pode-se escolher exatamente k elementos do primeiro bloco e N-k do segundo. O número de formas para cada k é \binom{N}{k}\binom{N}{N-k}=\binom{N}{k}^2. Somando sobre todos os k possíveis obtemos todas as escolhas de N elementos entre 2N, portanto
\sum_{k=0}^{N}\binom{N}{k}^2=\binom{2N}{N}.

Passo 7

Substituindo essa identidade na expressão da probabilidade:
\mathbb{P}(\text{encontro em }N) =\Big(\tfrac14\Big)^N \binom{2N}{N} =\dfrac{\binom{2N}{N}}{4^N}.
Essa é a fórmula fechada e muito simples: a probabilidade de que, depois de N passos simultâneos, os dois bêbados estejam na mesma posição é \dfrac{\binom{2N}{N}}{4^N}.

Passo 8

Pequena checagem por N pequeno (para ganhar confiança):
  • Para N=1: \binom{2}{1}/4^1 = 2/4 = 1/2. Verificando diretamente: após um passo eles se encontram se ambos foram para a mesma direção — probabilidade 1/2. OK.
  • Para N=2: \binom{4}{2}/4^2 = 6/16 = 3/8. Pode-se verificar enumerando as 4^2=16 combinações de pares de passos; em 6 delas R_X=R_Y. OK.

Resposta

\boxed{\dfrac{\binom{2N}{N}}{4^N}}

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