Defina o processo
, retas atrasadas, em que
é uma variável aleatória exponencial com esperança unitária.
(I) Qual a probabilidade de
?
(II) Qual a probabilidade de
?
Dica, ache a Fdc
.
a. (I)
(II) 0
b. (I)
(II) 0
c. (I)
(II)।
d. (I)
(II) 0
e. (I)
(II) 1
(I) Qual a probabilidade de
(II) Qual a probabilidade de
Passo 1
O enunciado dá o processo
, onde
é uma variável aleatória exponencial com esperança unitária. As perguntas são:
- (I) Qual a probabilidade de
? - (II) Qual a probabilidade de
?
Informações relevantes fornecidas:
-
é exponencial com esperança . Para a exponencial com parâmetro , a esperança é . Como a esperança é , temos . - Portanto a função densidade de
é para . - A função distribuição de
é para (e para ).
Passo 2
Entender o que significa calcular a função distribuição de
. A função distribuição de uma variável aleatória
é
. Aqui vamos achar
em termos da distribuição de
. Primeiro escrevemos a desigualdade que define o evento:
Então
. Agora precisamos avaliar essa probabilidade usando a distribuição de
; como
quase certamente, há dois casos a considerar: quando
e quando
.
Passo 3
Avaliação dos casos usando
.
- Se
(isto é, ), então e como sempre, temos . Logo para . - Se
(isto é, ), então e
Usando
para
, obtemos
Portanto a função distribuição de
é
Passo 4
Verificações rápidas (didática): a fórmula faz sentido porque quando
temos
, e quando
temos
, logo a cdf é contínua em
. A distribuição de
é, portanto, uma exponencial refletida e deslocada: o suporte é
.
Passo 5
Calcular (I) usando
e
. Como
(portanto
), aplicamos a fórmula
:
Outra forma de ver:
. Para
exponencial com
,
.
Passo 6
Calcular (II) com
e
. Note que
. Queremos
. Observações úteis:
-
. - A variável exponencial
é contínua, logo e .
Portanto
Também dá para ver pela cdf:
, então a probabilidade de estrita desigualdade é
(não há átomo em
).