Defina o processo X(t)=t-B, retas atrasadas, em que B é uma variável aleatória exponencial com esperança unitária.
(I) Qual a probabilidade de X(1) \leq-2 ?
(II) Qual a probabilidade de X(1)<1 ?
Dica, ache a Fdc X(t).
\bigcirc a. (I) e^{2} (II) 0
\bigcirc b. (I) e^{-2} (II) 0
\bigcirc c. (I) e^{-3} (II)।
\bigcirc d. (I) e^{-1} (II) 0
\bigcirc e. (I) e^{-2} (II) 1

Passo 1

O enunciado dá o processo X(t)=t-B, onde B é uma variável aleatória exponencial com esperança unitária. As perguntas são:
  1. (I) Qual a probabilidade de X(1)\leq -2?
  2. (II) Qual a probabilidade de X(1)<1?
Informações relevantes fornecidas:
  • B é exponencial com esperança 1. Para a exponencial com parâmetro \lambda, a esperança é 1/\lambda. Como a esperança é 1, temos \lambda=1.
  • Portanto a função densidade de B é f_B(b)=e^{-b} para b\ge 0.
  • A função distribuição de B é \;F_B(b)=1-e^{-b} para b\ge 0 (e F_B(b)=0 para b<0).

Passo 2

Entender o que significa calcular a função distribuição de X(t). A função distribuição de uma variável aleatória Y é F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y). Aqui vamos achar F_{X(t)}(x)=\mathbb{P}(X(t)\le x) em termos da distribuição de B. Primeiro escrevemos a desigualdade que define o evento:
X(t)\le x \iff t-B\le x \iff -B\le x-t \iff B\ge t-x.
Então \mathbb{P}(X(t)\le x)=\mathbb{P}(B\ge t-x). Agora precisamos avaliar essa probabilidade usando a distribuição de B; como B\ge 0 quase certamente, há dois casos a considerar: quando t-x\le 0 e quando t-x>0.

Passo 3

Avaliação dos casos usando F_B.
  • Se t-x\le 0 (isto é, x\ge t), então t-x\le 0 e como B\ge 0 sempre, temos \mathbb{P}(B\ge t-x)=1. Logo F_{X(t)}(x)=1 para x\ge t.
  • Se t-x>0 (isto é, x<t), então t-x>0 e
\mathbb{P}(B\ge t-x)=1-\mathbb{P}(B\le t-x)=1-F_B(t-x).
Usando F_B(y)=1-e^{-y} para y\ge0, obtemos
\mathbb{P}(B\ge t-x)=1-(1-e^{-(t-x)})=e^{-(t-x)}=e^{x-t}.
Portanto a função distribuição de X(t) é
F_{X(t)}(x)=\begin{cases} e^{x-t}, & x<t,\\[4pt] 1, & x\ge t. \end{cases}]

Passo 4

Verificações rápidas (didática): a fórmula faz sentido porque quando x\to -\infty temos e^{x-t}\to 0, e quando x\to t^- temos e^{x-t}\to 1, logo a cdf é contínua em x=t. A distribuição de X(t) é, portanto, uma exponencial refletida e deslocada: o suporte é (-\infty,t].

Passo 5

Calcular (I) usando t=1 e x=-2. Como -2<1 (portanto x<t), aplicamos a fórmula F_{X(1)}(x)=e^{x-1}:
\mathbb{P}(X(1)\le -2)=e^{-2-1}=e^{-3}.
Outra forma de ver: X(1)\le -2\iff 1-B\le -2\iff B\ge 3. Para B exponencial com \lambda=1, \mathbb{P}(B\ge 3)=e^{-3}.

Passo 6

Calcular (II) com t=1 e x=1. Note que x=1=t. Queremos \mathbb{P}(X(1)<1). Observações úteis:
  • X(1)<1\iff 1-B<1\iff -B<0\iff B>0.
  • A variável exponencial B é contínua, logo \mathbb{P}(B=0)=0 e \mathbb{P}(B>0)=1.
    Portanto
\mathbb{P}(X(1)<1)=\mathbb{P}(B>0)=1.
Também dá para ver pela cdf: \lim_{x\to 1^-}F_{X(1)}(x)=\lim_{x\to 1^-}e^{x-1}=1, então a probabilidade de estrita desigualdade é 1 (não há átomo em x=1).

Resposta

\;e^{-3}
\;1

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