Considere um processo estocástico X(t)=A t^{2}, \quad t \geq 0, em que A é uma variável aleatória uniforme no intervalo [0,1]. Qual a probabilidade de X(2)<1 ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 1/4
\bigcirc b. 1 / 3
\bigcirc c. 1
\bigcirc d. 3/4
\bigcirc e. 2 / 3

Passo 1

O enunciado dá um processo estocástico \,X(t)=A\,t^{2},\; t\ge 0\, em que A é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0,1]. A pergunta é: qual a probabilidade de \,X(2)<1?\n
Informações relevantes fornecidas:
\,X(t)=A\,t^{2}\, para t\ge 0.
\,A\sim\text{Uniforme}[0,1].
Queremos calcular \,P\bigl(X(2)<1\bigr).

Passo 2

Primeiro, calculemos explicitamente \,X(2). Substituindo t=2 na definição,
X(2)=A\cdot 2^{2}=4A.
Portanto o evento \,X(2)<1\, é equivalente ao evento \,4A<1\,.

Passo 3

Resolva a desigualdade \,4A<1\, para A:
4A<1 \quad\Longrightarrow\quad A<\frac{1}{4}.
Assim P\bigl(X(2)<1\bigr)=P\Bigl(A<\frac{1}{4}\Bigr).

Passo 4

Agora use a propriedade da distribuição uniforme em [0,1]\). A densidade de \(A\) é \[f_A(a)=\begin{cases}1, & 0\le a\le1,\\[4pt] 0,& \text{caso contrário.}\end{cases}
A probabilidade de A\] cair em um subintervalo \([0,x] com 0\le x\le1 é simplesmente o comprimento desse intervalo, ou seja x. Em forma de integral:
P\Bigl(A<\frac{1}{4}\Bigr)=\int_{0}^{1/4} f_A(a)\,da=\int_{0}^{1/4} 1\,da.]

Passo 5

Calcule a integral:
\int_{0}^{1/4} 1\,da = \left[a\right]_{0}^{1/4}=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}.
Portanto a probabilidade pedida é \,1/4\,. Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra (a).

Resposta

a. \dfrac{1}{4}

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