Um processo estocástico é descrito por funções de massa de probabilidade conjunta quando
Escolha uma opção:
\bigcirc a. O processo é contínuo no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos
\bigcirc b. O processo é discreto no tempo
\bigcirc c. O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores contínuos
\bigcirc d. O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos
\bigcirc e. O processo tem variáveis aleatórias discretas

Passo 1

O enunciado pergunta: “Um processo estocástico é descrito por funções de massa de probabilidade conjunta quando” e apresenta cinco alternativas (a–e). As informações relevantes são:
  • Temos um processo estocástico, normalmente representado por uma coleção de variáveis aleatórias indexadas por tempo, por exemplo \{X_t : t\in T\}.
  • A pergunta quer identificar em que situação usamos funções de massa de probabilidade conjunta (joint PMF).
    Não se pede para calcular nada, apenas escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que é “função de massa de probabilidade conjunta”. A definição prática:
  • Se X e Y são variáveis aleatórias discretas (ou seja, só podem assumir valores em um conjunto contável, por exemplo \{0,1,2,\dots\}), a função de massa de probabilidade conjunta é
p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,\;Y=y).
  • Essa função dá a probabilidade de cada par de valores (x,y). Para variáveis discretas ela satisfaz:
p_{X,Y}(x,y)\ge 0\quad\text{e}\quad\sum_{x}\sum_{y} p_{X,Y}(x,y)=1.
Explicando devagar: a palavra “massa” (mass) refere-se ao fato de a probabilidade estar concentrada em pontos isolados (valores discretos). Quando as variáveis são contínuas, em vez de massa usamos “densidade” e trabalhamos com função densidade de probabilidade conjunta (joint PDF).

Passo 3

Aplicando a ideia a um processo estocástico \{X_t\}:
  • Quando as variáveis X_{t_1},X_{t_2},\dots,X_{t_n} são discretas, as distribuições conjuntas finito-dimensionais são dadas por funções de massa:
p_{X_{t_1},\dots,X_{t_n}}(x_1,\dots,x_n)=P(X_{t_1}=x_1,\dots,X_{t_n}=x_n).
  • Se as variáveis X_{t} forem contínuas (assumem valores em intervalos contínuos), então as distribuições conjuntas são descritas por funções densidade (joint PDF), não por massa.
    Importante: o uso de função de massa não exige que o tempo T seja discreto. O que importa é se as variáveis aleatórias são discretas ou contínuas. Por exemplo, existe processo com tempo contínuo e valores discretos (como um processo de contagem tipo Poisson) cujas distribuições conjuntas são dadas por massas.

Passo 4

Vou dar exemplos curtos para fixar:
  • Exemplo 1 (variáveis discretas, tempo discreto): uma cadeia de Markov simples com estados \{0,1\}. As probabilidades P(X_1=i,X_2=j) são dadas por uma joint PMF.
  • Exemplo 2 (variáveis discretas, tempo contínuo): processo de contagem de Poisson \{N(t): t\ge 0\}. Cada N(t) é inteiro, e as probabilidades conjuntas P(N(t_1)=n_1,\dots,N(t_k)=n_k) são dadas por uma função de massa conjunta.
  • Exemplo 3 (variáveis contínuas): um processo Gaussiano tem variáveis contínuas; aí usamos funções densidade conjunta (joint PDF) ou, mais comumente, caracterização por média e covariância.
Esses exemplos mostram que o critério fundamental é se as variáveis aleatórias do processo são discretas ou não.

Passo 5

Agora analiso as alternativas e por que cada uma está certa ou errada:
  • Alternativa (a) “O processo é contínuo no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos”: isso é uma situação em que usamos joint PMF, mas é apenas um caso particular (tempo contínuo + valores discretos). A afirmação fica incompleta porque não é necessário que o tempo seja contínuo para usar PMF.
  • Alternativa (b) “O processo é discreto no tempo”: tempo discreto por si só não garante que as variáveis sejam discretas; pode ser um processo em tempo discreto com variáveis contínuas (ex.: X_n normal). Então b está incorreta.
  • Alternativa (c) “O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores contínuos”: aí usamos funções densidade conjuntas (PDF), não massa, então é errada.
  • Alternativa (d) “O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos”: é um caso correto, mas novamente é apenas uma possibilidade (tempo discreto + valores discretos). A questão pede a situação em que se descreve por funções de massa de probabilidade conjunta em geral, não apenas um caso particular.
  • Alternativa (e) “O processo tem variáveis aleatórias discretas”: esta é a condição fundamental e geral — sempre que as variáveis do processo são discretas, usamos funções de massa de probabilidade conjunta para descrever as distribuições conjuntas. Não importa se o tempo é discreto ou contínuo.

Passo 6

Conclusão pedagógica: a palavra-chave é “discretas” referindo-se às variáveis aleatórias do processo. Função de massa descreve probabilidades pontuais em conjuntos contáveis de valores. Portanto a resposta correta é a alternativa que afirma que as variáveis aleatórias do processo são discretas.

Resposta

e. O processo tem variáveis aleatórias discretas

Exercícios relacionados