Um processo estocástico é descrito por funções de massa de probabilidade conjunta quando
Escolha uma opção:
a. O processo é contínuo no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos
b. O processo é discreto no tempo
c. O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores contínuos
d. O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos
e. O processo tem variáveis aleatórias discretas
Passo 1
O enunciado pergunta: “Um processo estocástico é descrito por funções de massa de probabilidade conjunta quando” e apresenta cinco alternativas (a–e). As informações relevantes são:
- Temos um processo estocástico, normalmente representado por uma coleção de variáveis aleatórias indexadas por tempo, por exemplo
. - A pergunta quer identificar em que situação usamos funções de massa de probabilidade conjunta (joint PMF).
Não se pede para calcular nada, apenas escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que é “função de massa de probabilidade conjunta”. A definição prática:
- Se
e são variáveis aleatórias discretas (ou seja, só podem assumir valores em um conjunto contável, por exemplo ), a função de massa de probabilidade conjunta é
- Essa função dá a probabilidade de cada par de valores
. Para variáveis discretas ela satisfaz:
Explicando devagar: a palavra “massa” (mass) refere-se ao fato de a probabilidade estar concentrada em pontos isolados (valores discretos). Quando as variáveis são contínuas, em vez de massa usamos “densidade” e trabalhamos com função densidade de probabilidade conjunta (joint PDF).
Passo 3
Aplicando a ideia a um processo estocástico
:
- Quando as variáveis
são discretas, as distribuições conjuntas finito-dimensionais são dadas por funções de massa:
- Se as variáveis
forem contínuas (assumem valores em intervalos contínuos), então as distribuições conjuntas são descritas por funções densidade (joint PDF), não por massa.
Importante: o uso de função de massa não exige que o temposeja discreto. O que importa é se as variáveis aleatórias são discretas ou contínuas. Por exemplo, existe processo com tempo contínuo e valores discretos (como um processo de contagem tipo Poisson) cujas distribuições conjuntas são dadas por massas.
Passo 4
Vou dar exemplos curtos para fixar:
- Exemplo 1 (variáveis discretas, tempo discreto): uma cadeia de Markov simples com estados
. As probabilidades são dadas por uma joint PMF. - Exemplo 2 (variáveis discretas, tempo contínuo): processo de contagem de Poisson
. Cada é inteiro, e as probabilidades conjuntas são dadas por uma função de massa conjunta. - Exemplo 3 (variáveis contínuas): um processo Gaussiano tem variáveis contínuas; aí usamos funções densidade conjunta (joint PDF) ou, mais comumente, caracterização por média e covariância.
Esses exemplos mostram que o critério fundamental é se as variáveis aleatórias do processo são discretas ou não.
Passo 5
Agora analiso as alternativas e por que cada uma está certa ou errada:
- Alternativa (a) “O processo é contínuo no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos”: isso é uma situação em que usamos joint PMF, mas é apenas um caso particular (tempo contínuo + valores discretos). A afirmação fica incompleta porque não é necessário que o tempo seja contínuo para usar PMF.
- Alternativa (b) “O processo é discreto no tempo”: tempo discreto por si só não garante que as variáveis sejam discretas; pode ser um processo em tempo discreto com variáveis contínuas (ex.:
normal). Então b está incorreta. - Alternativa (c) “O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores contínuos”: aí usamos funções densidade conjuntas (PDF), não massa, então é errada.
- Alternativa (d) “O processo é discreto no tempo e suas variáveis aleatórias tem valores discretos”: é um caso correto, mas novamente é apenas uma possibilidade (tempo discreto + valores discretos). A questão pede a situação em que se descreve por funções de massa de probabilidade conjunta em geral, não apenas um caso particular.
- Alternativa (e) “O processo tem variáveis aleatórias discretas”: esta é a condição fundamental e geral — sempre que as variáveis do processo são discretas, usamos funções de massa de probabilidade conjunta para descrever as distribuições conjuntas. Não importa se o tempo é discreto ou contínuo.
Passo 6
Conclusão pedagógica: a palavra-chave é “discretas” referindo-se às variáveis aleatórias do processo. Função de massa descreve probabilidades pontuais em conjuntos contáveis de valores. Portanto a resposta correta é a alternativa que afirma que as variáveis aleatórias do processo são discretas.
Resposta
e. O processo tem variáveis aleatórias discretas