Defina reflexĩo e mostre que duas reflexões distinta comutam se, e somente se, suas diregōes são perpendiculares.

Passo 1

O que vamos provar: seja R_{\ell} a reflexão ortogonal no plano \mathbb{R}^2 em torno de uma reta \ell que passa pela origem. Essa transformação é linear, satisfaz
R_{\ell}(x)=x\quad\text{se }x\in\ell,
R_{\ell}(x)=-x\quad\text{se }x\perp\ell,
e é dada por
R_{u}(x)\;=\;2\langle x,u\rangle\,u\;-\;x,
onde u é um vetor unitário que orienta a reta \ell=\mathrm{span}\{u\}. Vamos usar a composição de tais reflexões e a interpretação geométrica de que duas reflexões formam uma rotação de centro na origem.

Passo 2

Sejam u e v dois vetores unitários cujas direções são as retas de reflexão. Denotamos por R_{u} a reflexão na reta \mathrm{span}\{u\} e por R_{v} a reflexão na reta \mathrm{span}\{v\}. Geometricamente, a composição
R_{v}\circ R_{u}
é a rotação em torno da origem de ângulo 2\theta, onde \theta é o menor ângulo dirigido de u para v. Analogamente
R_{u}\circ R_{v}
é a rotação de ângulo -2\theta.

Passo 3

Em símbolos, chamemos \mathrm{Rot}_\varphi a rotação ao redor da origem de ângulo \varphi. Então
R_{v}\circ R_{u} \;=\;\mathrm{Rot}_{2\theta},
R_{u}\circ R_{v} \;=\;\mathrm{Rot}_{-2\theta}.
Para que R_{v}\circ R_{u}=R_{u}\circ R_{v} é necessário e suficiente que
\mathrm{Rot}_{2\theta}=\mathrm{Rot}_{-2\theta}.

Passo 4

Sabemos que duas rotações em \mathbb{R}^2 coincidem se, e somente se, seus ângulos diferem por um múltiplo inteiro de 2\pi. Logo
2\theta \equiv -2\theta \pmod{2\pi} \quad\Longleftrightarrow\quad 4\theta = 2k\pi \quad(k\in\mathbb{Z}).
Como estamos em reflexões distintas, \theta\neq0, então a menor solução não-trivial é
4\theta = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \tfrac{\pi}{2}.
Isto significa que as linhas de reflexão são perpendiculares.

Resposta

Duas reflexões distintas comutam se, e somente se, as direções de suas retas de reflexão são perpendiculares.

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