Defina reflexĩo e mostre que duas reflexões distinta comutam se, e somente se, suas diregōes são perpendiculares.
Passo 1
O que vamos provar: seja
a reflexão ortogonal no plano
em torno de uma reta
que passa pela origem. Essa transformação é linear, satisfaz
e é dada por
onde
é um vetor unitário que orienta a reta
. Vamos usar a composição de tais reflexões e a interpretação geométrica de que duas reflexões formam uma rotação de centro na origem.
Passo 2
Sejam
e
dois vetores unitários cujas direções são as retas de reflexão. Denotamos por
a reflexão na reta
e por
a reflexão na reta
. Geometricamente, a composição
é a rotação em torno da origem de ângulo
, onde
é o menor ângulo dirigido de
para
. Analogamente
é a rotação de ângulo
.
Passo 3
Em símbolos, chamemos
a rotação ao redor da origem de ângulo
. Então
Para que
é necessário e suficiente que
Passo 4
Sabemos que duas rotações em
coincidem se, e somente se, seus ângulos diferem por um múltiplo inteiro de
. Logo
Como estamos em reflexões distintas,
, então a menor solução não-trivial é
Isto significa que as linhas de reflexão são perpendiculares.
Resposta
Duas reflexões distintas comutam se, e somente se, as direções de suas retas de reflexão são perpendiculares.