Defina: relação de equivalência, classe de equivalência e conjunto quociente.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos três conceitos centrais de teoria de relações: relação de equivalência, classe de equivalência e conjunto quociente. Vamos usar noções de reflexividade, simetria e transitividade para caracterizar a relação e depois ver como isso gera partições.
Passo 2
Uma relação
em um conjunto
é chamada de relação de equivalência se for reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, para todo
:
- Reflexiva:
. - Simétrica: se
então . - Transitiva: se
e então .
Passo 3
Dada uma relação de equivalência
em
, a classe de equivalência de um elemento
é o conjunto de todos os elementos que são equivalentes a
. Formalmente:
Passo 4
O conjunto quociente (ou conjunto das classes de equivalência) de
por
é o conjunto formado por todas as classes de equivalência. Denotamos por
e temos que cada elemento de
é uma classe
, de modo que as classes particionam
sem sobreposição.
Resposta
Relação de equivalência: uma relação
que satisfaz para todo
: reflexividade (
), simetria (se
então
) e transitividade (se
e
então
).
Classe de equivalência: para
,
où representing all elements equivalent to
.
Conjunto quociente: o conjunto de todas as classes de equivalência de
sob
, denotado por
. Cada elemento de
é uma classe
, e essas classes formam uma partição de
.