Defina: relação de equivalência, classe de equivalência e conjunto quociente.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos três conceitos centrais de teoria de relações: relação de equivalência, classe de equivalência e conjunto quociente. Vamos usar noções de reflexividade, simetria e transitividade para caracterizar a relação e depois ver como isso gera partições.

Passo 2

Uma relação R em um conjunto A é chamada de relação de equivalência se for reflexiva, simétrica e transitiva. Ou seja, para todo x,y,zin A:
  • Reflexiva: xRx.
  • Simétrica: se xRy então yRx.
  • Transitiva: se xRy e yRz então xRz.

Passo 3

Dada uma relação de equivalência R em A, a classe de equivalência de um elemento xin A é o conjunto de todos os elementos que são equivalentes a x. Formalmente:

Passo 4

O conjunto quociente (ou conjunto das classes de equivalência) de A por R é o conjunto formado por todas as classes de equivalência. Denotamos por A/R e temos que cada elemento de A/R é uma classe [x], de modo que as classes particionam A sem sobreposição.

Resposta

Relação de equivalência: uma relação Rsubseteq Atimes A que satisfaz para todo x,y,zin A: reflexividade ( xRx), simetria (se xRy então yRx) e transitividade (se xRy e yRz então xRz).
Classe de equivalência: para xin A,
où representing all elements equivalent to [x] = yin A mid xRy .
Conjunto quociente: o conjunto de todas as classes de equivalência de x sob A, denotado por R. Cada elemento de A/R é uma classe A/R, e essas classes formam uma partição de [x].

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