Defina:
Rotação pura

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o termo “Rotação pura”.
Informações dadas: apenas a palavra a ser definida — “Rotação pura”. Não há outras condições ou dados numéricos fornecidos.

Passo 2

Vamos começar com uma explicação intuitiva. Imagine um corpo rígido (tipo uma moeda ou um disco) que gira em torno de um eixo sem se esticar nem se dobrar. Cada ponto do corpo descreve uma circunferência em torno desse eixo e as distâncias entre quaisquer dois pontos permanecem exatamente as mesmas durante o movimento. Isso é a ideia física de rotação pura: movimento em que o corpo gira, mas não sofre deformação nem translação global que altere distâncias internas.

Passo 3

Agora formalizo isso com matemática (sem pular etapas). Dizemos que um movimento é uma rotação pura se existir uma matriz \mathbf{R} tal que a posição nova \mathbf{x}' de qualquer ponto com posição original \mathbf{x} é
\mathbf{x}' = \mathbf{R}\,\mathbf{x}.
A matriz \mathbf{R} que representa uma rotação pura satisfaz duas propriedades essenciais:
\mathbf{R}^\top \mathbf{R} = \mathbf{I}
e
\det \mathbf{R} = 1.
Expliquei cada peça: \mathbf{R}^\top \mathbf{R}=\mathbf{I} quer dizer que \mathbf{R} é ortogonal (preserva produto interno), e \det\mathbf{R}=1 garante que não há inversão de orientação — é uma rotação propriamente dita (não um espelhamento).

Passo 4

Mostro por que a condição acima corresponde a “não haver deformação”. Distâncias são preservadas porque, para qualquer vetor \mathbf{x},
\|\mathbf{R}\mathbf{x}\|^2 = (\mathbf{R}\mathbf{x})^\top(\mathbf{R}\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top(\mathbf{R}^\top\mathbf{R})\mathbf{x} = \mathbf{x}^\top\mathbf{I}\mathbf{x} = \|\mathbf{x}\|^2.
Portanto, comprimentos e ângulos entre vetores são preservados — o corpo não se estica nem se contrai.

Passo 5

Para conectar com quantidades usadas em mecânica dos sólidos, mostro que o tensor de deformação (pequena deformação) é nulo em rotação pura. Para rotações pequenas, podemos aproximar o deslocamento por
\mathbf{u}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{x},
onde \boldsymbol{\theta} é o vetor pequeno de rotação (direção do eixo e magnitude do ângulo) e \times é o produto vetorial. Calculo o gradiente do deslocamento componente a componente: se u_i = \varepsilon_{ijk}\theta_j x_k (onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita), então
\frac{\partial u_i}{\partial x_l} = \varepsilon_{ijl}\theta_j.
O tensor de pequenas deformações é a parte simétrica desse gradiente,
\varepsilon_{il} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_l} + \frac{\partial u_l}{\partial x_i}\right) = \frac{1}{2}\big(\varepsilon_{ijl}+\varepsilon_{lji}\big)\theta_j = 0,
porque \varepsilon_{ijl} é antissimétrico em i\leftrightarrow l. Conclusão: o tensor de deformação é zero — não há deformação.

Passo 6

Outra forma prática de reconhecer rotação pura: o campo velocidade de um movimento rígido rotacional (com eixo/velocidade angular \boldsymbol{\omega}) é dado por
\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.
Essa expressão indica que cada ponto tem velocidade perpendicular ao raio \mathbf{r} e com magnitude proporcional à distância ao eixo, o que corresponde ao giro em torno do eixo com velocidade angular \boldsymbol{\omega}.

Passo 7

Dou um exemplo concreto em 2D para fixar: a rotação de um vetor \mathbf{x}=(x_1,x_2) por um ângulo \theta em torno da origem é
\mathbf{R}(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
e aí \mathbf{x}'=\mathbf{R}(\theta)\mathbf{x}. Verificamos que \mathbf{R}(\theta)^\top\mathbf{R}(\theta)=\mathbf{I} e \det\mathbf{R}(\theta)=1, e portanto é uma rotação pura que preserva distâncias.]

Passo 8

Contrastando: uma transformação que combina rotação e alongamento não é rotação pura — na teoria de deformações isso aparece como uma decomposição polar
\mathbf{F}=\mathbf{R}\,\mathbf{U},
onde \mathbf{F} é o gradiente de deformação, \mathbf{R} é uma rotação e \mathbf{U} é simétrica positiva (estiramento). Rotação pura corresponde ao caso \mathbf{U}=\mathbf{I}. Em provas, formas simples de checar rotação pura: verificar que \mathbf{F} é ortogonal, ou que o tensor de deformação simétrica é zero, ou que o campo velocidade tem a forma \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.

Passo 9

Resumo conciso e dica de prova:
  • Se pedirem para mostrar que um movimento é rotação pura, tente provar que existe \mathbf{R} ortogonal com \det=1 tal que \mathbf{x}'=\mathbf{R}\mathbf{x}; ou mostre que a parte simétrica do gradiente de deslocamento é zero.
  • Para exercícios, montar a matriz \mathbf{R} (quando houver ângulo), ou calcular \nabla\mathbf{u} e verificar que sua parte simétrica é nula, costuma ser o caminho mais direto.

Resposta

Rotação pura: movimento rígido em que existe uma matriz de rotação \mathbf{R} tal que \mathbf{x}'=\mathbf{R}\mathbf{x}, com \mathbf{R}^\top\mathbf{R}=\mathbf{I} e \det\mathbf{R}=1; preserva todas as distâncias e ângulos (não há deformação), equivalendo ao tensor de deformação simétrica nulo e a um campo velocidade da forma \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.

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