Defina o que são pontos críticos de uma função de duas variáveis e dê um exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para definir o que são pontos críticos de uma função de duas variáveis e também dar um exemplo. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e condições para encontrar pontos críticos. Precisaremos entender o que é uma função de duas variáveis, como calcular suas derivadas parciais e identificar onde essas derivadas se anulam ou não existem.
Passo 2
Primeiro, uma função de duas variáveis é aquela que depende de duas entradas, geralmente representadas por $ x $ e $ y $, e retorna um valor. Por exemplo, $ f(x, y) = x^2 + y^2 $.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos dessa função, a gente precisa calcular as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = x^2 + y^2 $:
Essas derivadas representam as inclinações da função nas direções de $ x $ e $ y $.
Passo 5
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero ou não existem. No nosso exemplo:
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.
Resposta
Pontos críticos de uma função de duas variáveis são aqueles pontos $ (x, y) $ onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero ou não existem. Um exemplo é a função $ f(x, y) = x^2 + y^2 $, que tem um ponto crítico em $ (0, 0) $.