Defina o que são pontos críticos de uma função de duas variáveis e dê um exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para definir o que são pontos críticos de uma função de duas variáveis e também dar um exemplo. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e condições para encontrar pontos críticos. Precisaremos entender o que é uma função de duas variáveis, como calcular suas derivadas parciais e identificar onde essas derivadas se anulam ou não existem.

Passo 2

Primeiro, uma função de duas variáveis é aquela que depende de duas entradas, geralmente representadas por $ x $ e $ y $, e retorna um valor. Por exemplo, $ f(x, y) = x^2 + y^2 $.

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos dessa função, a gente precisa calcular as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = x^2 + y^2 $:
f(x, y) = x^2 + y^2
partial fpartial x = 2x
Essas derivadas representam as inclinações da função nas direções de $ x $ e $ y $.

Passo 5

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero ou não existem. No nosso exemplo:
2x = 0 implies x = 0
2y = 0 implies y = 0
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Resposta

Pontos críticos de uma função de duas variáveis são aqueles pontos $ (x, y) $ onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero ou não existem. Um exemplo é a função $ f(x, y) = x^2 + y^2 $, que tem um ponto crítico em $ (0, 0) $.

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