Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas:
f(x)=x+\operatorname{sen}(x+6)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x+\sin(x+6)
e pede para decidir se ela é par (isto é, f(-x)=f(x)), ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)) ou nenhuma das duas. Vamos usar a definição de função par e ímpar e a identidade trigonométrica para reescrever \sin(6-x).

Passo 2

Calculemos primeiro f(-x):
f(-x)=(-x)+\sin\bigl(-x+6\bigr)= -x + \sin(6 - x).

Passo 3

Aplicando a identidade \sin(6-x)=\sin6\cos x - \cos6\sin x, obtemos
f(-x) = -x + \bigl(\sin6\cos x - \cos6\sin x\bigr).
Em contraste,
f(x)=x + \sin(x+6)=x + \bigl(\sin x\cos6 + \cos x\sin6\bigr).

Passo 4

Para ser par, precisaríamos de f(-x)=f(x), isto é
-\,x + \sin6\cos x - \cos6\sin x \stackrel?= x + \sin x\cos6 + \cos x\sin6,
o que claramente não vale para todo x. Para ser ímpar, precisaríamos de f(-x)=-f(x), ou seja
-\,x + \sin6\cos x - \cos6\sin x \stackrel?= -\bigl(x + \sin x\cos6 + \cos x\sin6\bigr),
ou seja
-\,x + \sin6\cos x - \cos6\sin x \stackrel?= -x - \sin x\cos6 - \cos x\sin6,
o que também não ocorre para todo x. Logo, a função não satisfaz nenhuma das duas condições.

Resposta

A função f(x)=x+\sin(x+6) é nenhuma das duas.

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