Defina os seguintes conjuntos numéricos:
(b) Inteiros
(b) Inteiros
Passo 1
O enunciado pede: definir o conjunto “Inteiros”.
Informações dadas: apenas a palavra “Inteiros” — ou seja, quero uma definição clara, exemplos, propriedades básicas e como identificá-los.
Informações dadas: apenas a palavra “Inteiros” — ou seja, quero uma definição clara, exemplos, propriedades básicas e como identificá-los.
Passo 2
Definição informal e intuitiva: os inteiros são todos os números inteiros positivos, o zero e os inteiros negativos. Em palavras simples: são os números que não têm parte fracionária nem decimal, incluindo os negativos. A notação padrão é
.
Passo 3
Definição em notação de conjunto (forma usual):
Aqui os reticências indicam que a sequência continua indefinidamente para os dois lados. Cada elemento é um número inteiro.
Passo 4
Relação com os naturais e com outros conjuntos numéricos:
- Se
representa os números naturais, então uma forma útil de escrever é
- Os inteiros formam um subconjunto de
(os racionais) e de (os reais): .
Passo 5
Exemplos e contraexemplos (para fixar):
- Exemplos de inteiros:
, , , , . - Não são inteiros:
, , — esses têm parte fracionária ou não são números racionais inteiros.
Passo 6
Propriedades algébricas básicas (úteis na prova):
- Fechamento sob adição: se
então . Exemplo de justificativa: inteiros podem ser vistos como diferenças de naturais; se e com , então
que é novamente uma diferença de naturais, logo um inteiro.
- Fechamento sob subtração: se
então (mesma ideia). - Fechamento sob multiplicação: se
então . Ex.: produto de dois inteiros não tem parte fracionária. - Não fechados sob divisão: em geral, se
e , o quociente pode não ser inteiro (por exemplo, ).
Passo 7
Representação na reta numérica e ordem:
- Os inteiros aparecem como pontos igualmente espaçados na reta numérica: cada inteiro tem um sucessor (por exemplo, sucessor de
é ) e um antecessor (antecessor de é ). - Podemos comparar inteiros com desigualdades: por exemplo,
, , etc.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (amigo explicando):
- Se um número não tem vírgula/parte decimal e não é uma fração, provavelmente é inteiro; verifique sinais.
- Para provar propriedades, use representações do tipo “diferença de naturais” ou manipulações algébricas simples como nas propriedades acima — isso impressiona e é direto.
- Não confunda inteiros com racionais: todo inteiro é racional (escreve-se
), mas nem todo racional é inteiro.