Defina os seguintes conjuntos numéricos:
(b) Inteiros

Passo 1

O enunciado pede: definir o conjunto “Inteiros”.
Informações dadas: apenas a palavra “Inteiros” — ou seja, quero uma definição clara, exemplos, propriedades básicas e como identificá-los.

Passo 2

Definição informal e intuitiva: os inteiros são todos os números inteiros positivos, o zero e os inteiros negativos. Em palavras simples: são os números que não têm parte fracionária nem decimal, incluindo os negativos. A notação padrão é \mathbb{Z}.

Passo 3

Definição em notação de conjunto (forma usual):
\mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}.
Aqui os reticências indicam que a sequência continua indefinidamente para os dois lados. Cada elemento é um número inteiro.

Passo 4

Relação com os naturais e com outros conjuntos numéricos:
  • Se \mathbb{N} representa os números naturais, então uma forma útil de escrever \mathbb{Z} é
\mathbb{Z}=\{-n:n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\}\cup\{n:n\in\mathbb{N}\}.
  • Os inteiros formam um subconjunto de \mathbb{Q} (os racionais) e de \mathbb{R} (os reais): \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.

Passo 5

Exemplos e contraexemplos (para fixar):
  • Exemplos de inteiros: -5, -1, 0, 7, 42.
  • Não são inteiros: \tfrac{1}{2}, 3{,}14, \sqrt{2} — esses têm parte fracionária ou não são números racionais inteiros.

Passo 6

Propriedades algébricas básicas (úteis na prova):
  • Fechamento sob adição: se a,b\in\mathbb{Z} então a+b\in\mathbb{Z}. Exemplo de justificativa: inteiros podem ser vistos como diferenças de naturais; se a=p-q e b=r-s com p,q,r,s\in\mathbb{N}, então
a+b=(p+r)-(q+s),
que é novamente uma diferença de naturais, logo um inteiro.
  • Fechamento sob subtração: se a,b\in\mathbb{Z} então a-b\in\mathbb{Z} (mesma ideia).
  • Fechamento sob multiplicação: se a,b\in\mathbb{Z} então ab\in\mathbb{Z}. Ex.: produto de dois inteiros não tem parte fracionária.
  • Não fechados sob divisão: em geral, se a,b\in\mathbb{Z} e b\neq0, o quociente a/b pode não ser inteiro (por exemplo, 1/2\notin\mathbb{Z}).

Passo 7

Representação na reta numérica e ordem:
  • Os inteiros aparecem como pontos igualmente espaçados na reta numérica: cada inteiro tem um sucessor (por exemplo, sucessor de n é n+1) e um antecessor (antecessor de n é n-1).
  • Podemos comparar inteiros com desigualdades: por exemplo, -2<1, 0\le 3, etc.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (amigo explicando):
  • Se um número não tem vírgula/parte decimal e não é uma fração, provavelmente é inteiro; verifique sinais.
  • Para provar propriedades, use representações do tipo “diferença de naturais” ou manipulações algébricas simples como nas propriedades acima — isso impressiona e é direto.
  • Não confunda inteiros com racionais: todo inteiro é racional (escreve-se n=\tfrac{n}{1}), mas nem todo racional é inteiro.

Resposta

\mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}

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