Defina a sequência
Verifique que
é uma sequência monótona e que
para todo
. Conclua que
é convergente e calcule o seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e
. Vamos usar teoria de sequências monótonas e limitadas: se uma sequência é monótona e limitada, ela converge. Depois, para achar o limite, fazemos
.
Passo 2
Prova por indução de que
para todo
:
Base: .
Passo indutivo: suponha . Então
Base:
Passo indutivo: suponha
Logo, por indução,
para todo
, ou seja, a sequência é limitada superiormente por 4.
Passo 3
Mostramos agora que
é crescente, i.e.
:
Calculemos a diferença:
Calculemos a diferença:
Como já vimos que
, o produto
é negativo e
, logo
ou seja,
e a sequência é estritamente crescente.
Passo 4
Sendo
crescente e limitada superiormente por 4, pelo Teorema de convergência de sequências monótonas ela converge. Seja
Pelo limite da recorrência segue
que leva à equação
Como
, o único valor possível é
.