Defina a sequência
a1=2 e an+1=5-4an para n >= 2
Verifique que an <= 4 é uma sequência monótona e que n in N para todo . Conclua que é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência a1=2 e an+1=5-4an. Vamos usar teoria de sequências monótonas e limitadas: se uma sequência é monótona e limitada, ela converge. Depois, para achar o limite, fazemos L=lim an+1=5-tfrac4L.

Passo 2

Prova por indução de que an<4 para todo n:
Base: a1=2<4.
Passo indutivo: suponha ak<4. Então
ak+1=5-4ak<5-44=4
Logo, por indução, an<4 para todo n, ou seja, a sequência é limitada superiormente por 4.

Passo 3

Mostramos agora que (an) é crescente, i.e. an+1>= an:
Calculemos a diferença:
an+1-an=5-4an-an=5an-an^2-4an=-(an-1)(an-4)an
Como já vimos que 1, o produto (an-1)(an-4) é negativo e an>0, logo
an+1-an>0,
ou seja, an+1>an e a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Sendo (an) crescente e limitada superiormente por 4, pelo Teorema de convergência de sequências monótonas ela converge. Seja
L=limntoinftyan
Pelo limite da recorrência segue
L=5-4L
que leva à equação
L^2-5L+4=0Longrightarrow L=1 ou L=4
Como an>= a1=2, o único valor possível é L=4.

Resposta

4

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