Suponha que a, r são números positivos. Determine o que acontece com as seguintes sequências quando n infty.
© bn=n^re^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da sequência bn=n^re^n quando ntoinfty. O conteúdo aqui é limite de sequência, e vamos usar o teste da razão, que compara bn+1/bn para decidir se bn tende a zero ou diverge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão, calculando:\
bn+1bn =(n+1)^re^n+1n^re^n =(n+1)^re^n+1cdote^nn^r =1e(1+1n)^r
Quando ntoinfty, temos (1+tfrac1n)^rto1, então
bn+1bnto1e<1

Passo 3

Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão nos diz que bn converge para zero. Intuitivamente, a exponencial e^n cresce muito mais rápido que qualquer potência n^r, fazendo bn decair até zero.

Resposta

limntoinftyn^re^n=0.

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