Defina o que é uma sequência limitada inferiormente, limitada superiormente e o que é uma sequência limitada.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir, com clareza, o que é uma sequência limitada inferiormente, limitada superiormente e o que é uma sequência limitada. Não há outros dados; preciso dar definições formais, explicar o significado dos símbolos e mostrar exemplos simples para você entender como aplicar na prova.

Passo 2

Antes de definir, vamos fixar a notação e o objeto com que trabalhamos. Denotamos por (a_n)_{n\in\mathbb{N}} uma sequência de números reais, onde:
  • \;a_n\; é o n-ésimo termo da sequência;
  • \;n\in\mathbb{N}\; percorre os índices 1,2,3,\dots.
    Sempre que eu escrever uma proposição do tipo “para todo n” significa “para todo n\in\mathbb{N}”.

Passo 3

Definição: sequência limitada superiormente.
Dizemos que a sequência (a_n) é limitada superiormente se existir um número real M tal que, para todo índice n,
a_n \le M.
  • Aqui M é chamado de limite superior (um majorante) da sequência.
  • A forma simbólica completa é: \exists M\in\mathbb{R} tal que \forall n\in\mathbb{N},\; a_n \le M.
Exemplo didático: a sequência \displaystyle a_n=\frac{1}{n}. Como para todo n\ge1 temos a_n\le 1, basta escolher M=1. Logo (a_n) é limitada superiormente.

Passo 4

Definição: sequência limitada inferiormente.
Dizemos que a sequência (a_n) é limitada inferiormente se existir um número real m tal que, para todo índice n,
a_n \ge m.
  • Aqui m é chamado de limite inferior (um minorante) da sequência.
  • Formalmente: \exists m\in\mathbb{R} tal que \forall n\in\mathbb{N},\; a_n \ge m.
Exemplo didático: a sequência \displaystyle b_n = n (para n\ge1) não é limitada superiormente (vai a +\infty), porém é limitada inferiormente porque \forall n\ge1,\; b_n \ge 1. Então podemos escolher m=1.

Passo 5

Definição: sequência limitada (simplesmente).
Dizemos que (a_n) é limitada se ela for ao mesmo tempo limitada superiormente e limitada inferiormente; isto é, existem m,M\in\mathbb{R} tais que, para todo n,
m \le a_n \le M.
Uma forma equivalente e muito útil em provas é: (a_n) é limitada se existir K\ge 0 tal que
|a_n| \le K\qquad\text{para todo }n.
  • Explicação da equivalência: se m\le a_n\le M para todo n, então tomando K=\max\{|m|,|M|\} segue |a_n|\le K. Reciprocamente, se |a_n|\le K então -K \le a_n \le K, logo a sequência tem majorante e minorante.
Exemplo didático: \displaystyle c_n = (-1)^n. Para todo n vale -1\le c_n\le 1, ou equivalentemente |c_n|\le 1. Então (c_n) é limitada.

Passo 6

Como mostrar que uma sequência é (ou não é) limitada na prova — dicas práticas:
  • Para mostrar que é limitada superiormente (ou inferiormente), encontre explicitamente um M (ou m) e justifique por desigualdade que a_n\le M (ou a_n\ge m) para todo n.
  • Para mostrar que é limitada, procurar uma desigualdade em termos de |a_n| é frequentemente mais simples: provar |a_n|\le K.
  • Para provar que NÃO é limitada superiormente, mostre que para todo M existe índice n com a_n>M (isto é, cresce sem limite). Analogamente para não ser limitada inferiormente.
  • Use manipulações algébricas (por exemplo divisão por n, desigualdades elementares, conhecimento do comportamento assintótico) para construir os bounds.
Exemplo rápido: \displaystyle d_n=\frac{2n+3}{n+1}. Para n\ge1,
d_n = 2 + \frac{1}{n+1},
logo 2< d_n \le 3. Assim d_n é limitada inferiormente por m=2 e limitada superiormente por M=3; portanto é limitada.

Passo 7

Observações importantes e armadilhas comuns:
  • Bounded (limitada) não é o mesmo que convergente. Há sequências limitadas que não convergem (por exemplo ((-1)^n) oscila entre -1 e 1).
  • Uma sequência pode ser limitada inferiormente sem ser limitada superiormente (por exemplo a_n=n) ou o contrário (por exemplo a_n=-n).
  • Sempre que a sequência tem expressão simples, tente reescrevê-la para ver uma desigualdade clara (como transformar fração racional em termo dominante + resto).

Resposta

Uma sequência (a_n)_{n\in\mathbb{N}} é limitada superiormente se existir M\in\mathbb{R} tal que \forall n\in\mathbb{N},\; a_n \le M.
Uma sequência (a_n)_{n\in\mathbb{N}} é limitada inferiormente se existir m\in\mathbb{R} tal que \forall n\in\mathbb{N},\; a_n \ge m.
A sequência (a_n)_{n\in\mathbb{N}} é limitada se existirem m,M\in\mathbb{R} com \forall n\in\mathbb{N},\; m \le a_n \le M, equivalentes a existir K\ge0 tal que \forall n\in\mathbb{N},\; |a_n|\le K.

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