Defina o que é uma sequência limitada inferiormente, limitada superiormente e o que é uma sequência limitada.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir, com clareza, o que é uma sequência limitada inferiormente, limitada superiormente e o que é uma sequência limitada. Não há outros dados; preciso dar definições formais, explicar o significado dos símbolos e mostrar exemplos simples para você entender como aplicar na prova.
Passo 2
Antes de definir, vamos fixar a notação e o objeto com que trabalhamos. Denotamos por
uma sequência de números reais, onde:
-
é o -ésimo termo da sequência; -
percorre os índices .
Sempre que eu escrever uma proposição do tipo “para todo” significa “para todo ”.
Passo 3
Definição: sequência limitada superiormente.
Dizemos que a sequência é limitada superiormente se existir um número real
tal que, para todo índice
,
Dizemos que a sequência
- Aqui
é chamado de limite superior (um majorante) da sequência. - A forma simbólica completa é:
tal que
Exemplo didático: a sequência
. Como para todo
temos
, basta escolher
. Logo
é limitada superiormente.
Passo 4
Definição: sequência limitada inferiormente.
Dizemos que a sequência é limitada inferiormente se existir um número real
tal que, para todo índice
,
Dizemos que a sequência
- Aqui
é chamado de limite inferior (um minorante) da sequência. - Formalmente:
tal que
Exemplo didático: a sequência
(para
) não é limitada superiormente (vai a
), porém é limitada inferiormente porque
. Então podemos escolher
.
Passo 5
Definição: sequência limitada (simplesmente).
Dizemos que é limitada se ela for ao mesmo tempo limitada superiormente e limitada inferiormente; isto é, existem
tais que, para todo
,
Dizemos que
Uma forma equivalente e muito útil em provas é:
é limitada se existir
tal que
- Explicação da equivalência: se
para todo , então tomando segue . Reciprocamente, se então , logo a sequência tem majorante e minorante.
Exemplo didático:
. Para todo
vale
, ou equivalentemente
. Então
é limitada.
Passo 6
Como mostrar que uma sequência é (ou não é) limitada na prova — dicas práticas:
- Para mostrar que é limitada superiormente (ou inferiormente), encontre explicitamente um
(ou ) e justifique por desigualdade que (ou ) para todo . - Para mostrar que é limitada, procurar uma desigualdade em termos de
é frequentemente mais simples: provar . - Para provar que NÃO é limitada superiormente, mostre que para todo
existe índice com (isto é, cresce sem limite). Analogamente para não ser limitada inferiormente. - Use manipulações algébricas (por exemplo divisão por
, desigualdades elementares, conhecimento do comportamento assintótico) para construir os bounds.
Exemplo rápido:
. Para
,
logo
. Assim
é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
; portanto é limitada.
Passo 7
Observações importantes e armadilhas comuns:
- Bounded (limitada) não é o mesmo que convergente. Há sequências limitadas que não convergem (por exemplo
oscila entre e ). - Uma sequência pode ser limitada inferiormente sem ser limitada superiormente (por exemplo
) ou o contrário (por exemplo ). - Sempre que a sequência tem expressão simples, tente reescrevê-la para ver uma desigualdade clara (como transformar fração racional em termo dominante + resto).
Resposta
Uma sequência
é limitada superiormente se existir
tal que
.
Uma sequência é limitada inferiormente se existir
tal que
.
A sequência é limitada se existirem
com
, equivalentes a existir
tal que
.
Uma sequência
A sequência