Defina o que é uma sequência limitada inferiormente, limitada superiormente e o que é uma sequência limitada.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê definições claras e compreensíveis de três conceitos sobre sequências:
- Definir o que é uma sequência limitada inferiormente.
- Definir o que é uma sequência limitada superiormente.
- Definir o que é uma sequência limitada (no sentido usual).
Não há outros dados numéricos no enunciado; só é pedido apresentar as definições e esclarecer com exemplos e comentários.
Passo 2
Definição formal de sequência limitada inferiormente (forma direta).
- Seja
uma sequência real. Dizemos que é limitada inferiormente se existir um número real tal que, para todo índice ,
Esse
é chamado de um limitante inferior (ou simplesmente “menor limite” no sentido fraco). A ideia é: todos os termos da sequência ficam “acima” de uma reta horizontal
.
Explicação simples: isso significa que a sequência nunca desce abaixo de
. Pode haver muitos limitantes inferiores; por exemplo, se
funciona, qualquer
também funciona.
Passo 3
Exemplo e teste prático para limitada inferiormente.
- Exemplo 1:
. Para todo vale . Então podemos escolher e temos para todo . Logo é limitada inferiormente. - Exemplo 2:
. Aqui para , então é um limitante inferior. Assim é limitada inferiormente. - Exemplo 3:
. Essa sequência assume valores arbitrariamente negativos (por exemplo ), então não existe que satisfaça para todo . Logo não é limitada inferiormente.
Dica prática na prova: para mostrar que uma sequência é limitada inferiormente, basta fornecer um número
e provar que todos os termos são maiores ou iguais a
. Para mostrar que não é, normalmente se constrói uma subsequência que tende a
ou para qualquer candidato
encontra-se um termo que fica abaixo dele.
Passo 4
Definição formal de sequência limitada superiormente.
- Seja
. Dizemos que é limitada superiormente se existir um número real tal que, para todo índice ,
Esse
é chamado de um limitante superior. Intuitivamente: todos os termos da sequência ficam “abaixo” da reta horizontal
.
Observação: assim como no caso inferior, se
funciona, qualquer
também funciona (há muitos limitantes superiores possíveis).
Passo 5
Exemplo e teste prático para limitada superiormente.
- Exemplo 1:
. Temos para todo , então funciona; a sequência é limitada superiormente. - Exemplo 2:
. Aqui para todo , então é um limitante superior: a sequência é limitada superiormente. - Exemplo 3:
. Não existe tal que para todo (pois cresce sem limite). Logo não é limitada superiormente.
Dica prática: para provar que não existe limitante superior, use a ideia de que para qualquer
escolhido você pode tomar
(se
cresce) e obter
, contradizendo a hipótese.
Passo 6
Definição formal de sequência limitada (uniformemente limitada).
- Dizemos que
é limitada (ou limitada no sentido usual) se existe um número real tal que, para todo ,
Outra maneira equivalente de dizer isso é:
é limitada se e somente se for limitada superiormente e limitada inferiormente ao mesmo tempo; isto é, existem
e
tal que, para todo
,
Explicação: a condição
captura simultaneamente que a sequência não se aproxima de
nem de
; todos os termos ficam dentro do intervalo
.
Passo 7
Exemplos, observações úteis e armadilhas comuns.
- Exemplo clássico:
. Aqui para todo , então a sequência é limitada (por ). Observação: ser limitada não implica convergência: é limitada mas não converge. - Exemplo clássico:
. Já vimos que é limitada (por ) e, neste caso, além de limitada, converge para . - Exemplo clássico:
. Não é limitada (nem superiormente), portanto não é limitada. - Exemplo mostrando diferenças:
é limitada inferiormente (por exemplo por ) mas não é limitada superiormente; é limitada superiormente (por ) mas não limitada inferiormente. Assim, é possível ter só um dos dois tipos de limitação.
Propriedade útil para provas: se
e
são limitadas, então
e
(com
fixo) são limitadas — isso é fácil de verificar usando desigualdades com o limite
.
Passo 8
Como provar formalmente em uma prova curta.
- Para afirmar que
é limitada inferiormente: escreva “Tomemos . Então para todo tem-se . Logo é limitada inferiormente.” - Para negar que seja limitada inferiormente: suponha que exista
tal que para todo . Mostre uma contradição encontrando um termo (ou uma subsequência que tende a ). - Para declarar que é limitada: forneça
e mostre para todo . Alternativamente, apresente e e mostre para todo .
Resposta
Uma sequência
é limitada inferiormente se existir
tal que, para todo
,
.
Uma sequência
é limitada superiormente se existir
tal que, para todo
,
.
Uma sequência
é limitada se existir
tal que, para todo
,
(equivalente a existirem
e
com
para todo
).