Defina o que é uma sequência limitada inferiormente, limitada superiormente e o que é uma sequência limitada.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê definições claras e compreensíveis de três conceitos sobre sequências:
  • Definir o que é uma sequência limitada inferiormente.
  • Definir o que é uma sequência limitada superiormente.
  • Definir o que é uma sequência limitada (no sentido usual).
Não há outros dados numéricos no enunciado; só é pedido apresentar as definições e esclarecer com exemplos e comentários.

Passo 2

Definição formal de sequência limitada inferiormente (forma direta).
  • Seja (a_n)_{n\in\mathbb{N}} uma sequência real. Dizemos que (a_n) é limitada inferiormente se existir um número real m tal que, para todo índice n,
a_n \ge m.
Esse m é chamado de um limitante inferior (ou simplesmente “menor limite” no sentido fraco). A ideia é: todos os termos da sequência ficam “acima” de uma reta horizontal y=m.
Explicação simples: isso significa que a sequência nunca desce abaixo de m. Pode haver muitos limitantes inferiores; por exemplo, se m funciona, qualquer m'<m também funciona.

Passo 3

Exemplo e teste prático para limitada inferiormente.
  • Exemplo 1: a_n=\dfrac{1}{n}. Para todo n vale a_n>0. Então podemos escolher m=0 e temos a_n\ge 0 para todo n. Logo (a_n) é limitada inferiormente.
  • Exemplo 2: a_n=n. Aqui a_n\ge 1 para n\ge 1, então m=1 é um limitante inferior. Assim (a_n) é limitada inferiormente.
  • Exemplo 3: a_n=(-1)^n n. Essa sequência assume valores arbitrariamente negativos (por exemplo a_{2k+1}=-(2k+1)\to -\infty), então não existe m que satisfaça a_n\ge m para todo n. Logo não é limitada inferiormente.
Dica prática na prova: para mostrar que uma sequência é limitada inferiormente, basta fornecer um número m e provar que todos os termos são maiores ou iguais a m. Para mostrar que não é, normalmente se constrói uma subsequência que tende a -\infty ou para qualquer candidato m encontra-se um termo que fica abaixo dele.

Passo 4

Definição formal de sequência limitada superiormente.
  • Seja (a_n)_{n\in\mathbb{N}}. Dizemos que (a_n) é limitada superiormente se existir um número real M tal que, para todo índice n,
a_n \le M.
Esse M é chamado de um limitante superior. Intuitivamente: todos os termos da sequência ficam “abaixo” da reta horizontal y=M.
Observação: assim como no caso inferior, se M funciona, qualquer M'>M também funciona (há muitos limitantes superiores possíveis).

Passo 5

Exemplo e teste prático para limitada superiormente.
  • Exemplo 1: a_n=\dfrac{1}{n}. Temos a_n\le 1 para todo n, então M=1 funciona; a sequência é limitada superiormente.
  • Exemplo 2: a_n=-n. Aqui a_n\le 0 para todo n\ge 1, então M=0 é um limitante superior: a sequência é limitada superiormente.
  • Exemplo 3: a_n=n. Não existe M tal que n\le M para todo n (pois n cresce sem limite). Logo (a_n) não é limitada superiormente.
Dica prática: para provar que não existe limitante superior, use a ideia de que para qualquer M escolhido você pode tomar n>\!M (se n cresce) e obter a_n>M, contradizendo a hipótese.

Passo 6

Definição formal de sequência limitada (uniformemente limitada).
  • Dizemos que (a_n) é limitada (ou limitada no sentido usual) se existe um número real L tal que, para todo n,
|a_n| \le L.
Outra maneira equivalente de dizer isso é: (a_n) é limitada se e somente se for limitada superiormente e limitada inferiormente ao mesmo tempo; isto é, existem m e M tal que, para todo n,
m \le a_n \le M.
Explicação: a condição |a_n|\le L captura simultaneamente que a sequência não se aproxima de +\infty nem de -\infty; todos os termos ficam dentro do intervalo [-L,L].

Passo 7

Exemplos, observações úteis e armadilhas comuns.
  • Exemplo clássico: a_n=(-1)^n. Aqui |a_n|=1 para todo n, então a sequência é limitada (por L=1). Observação: ser limitada não implica convergência: (-1)^n é limitada mas não converge.
  • Exemplo clássico: a_n=\dfrac{1}{n}. Já vimos que é limitada (por L=1) e, neste caso, além de limitada, converge para 0.
  • Exemplo clássico: a_n=n. Não é limitada (nem superiormente), portanto não é limitada.
  • Exemplo mostrando diferenças: a_n=n é limitada inferiormente (por exemplo por m=1) mas não é limitada superiormente; a_n=-n é limitada superiormente (por M=0) mas não limitada inferiormente. Assim, é possível ter só um dos dois tipos de limitação.
Propriedade útil para provas: se (a_n) e (b_n) são limitadas, então (a_n+b_n) e (c a_n) (com c fixo) são limitadas — isso é fácil de verificar usando desigualdades com o limite L.

Passo 8

Como provar formalmente em uma prova curta.
  • Para afirmar que (a_n) é limitada inferiormente: escreva “Tomemos m=\dots. Então para todo n tem-se a_n\ge m. Logo (a_n) é limitada inferiormente.”
  • Para negar que seja limitada inferiormente: suponha que exista m tal que a_n\ge m para todo n. Mostre uma contradição encontrando um termo a_{n_0}<m (ou uma subsequência que tende a -\infty).
  • Para declarar que é limitada: forneça L e mostre |a_n|\le L para todo n. Alternativamente, apresente m e M e mostre m\le a_n\le M para todo n.

Resposta

Uma sequência (a_n) é limitada inferiormente se existir m\in\mathbb{R} tal que, para todo n, a_n \ge m.
Uma sequência (a_n) é limitada superiormente se existir M\in\mathbb{R} tal que, para todo n, a_n \le M.
Uma sequência (a_n) é limitada se existir L\in\mathbb{R} tal que, para todo n, |a_n| \le L (equivalente a existirem m e M com m\le a_n\le M para todo n).

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