Dê dois exemplos de sequências que não são crescentes e nem decrescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.

Passo 1

O que o enunciado pede: dar dois exemplos de sequências que não são crescentes nem decrescentes, diferentes das que aparecem nos exercícios 2 e 3.
Informações dadas: nenhuma sequência específica foi enviada agora — só a solicitação de dois exemplos distintos.
O que vou entregar: duas sequências explícitas e a verificação passo a passo (mostrando por que cada uma NÃO é crescente e NÃO é decrescente).

Passo 2

Antes de dar os exemplos, vamos lembrar direitinho as definições (explicação passo a passo, sem pressa).
  • Dizemos que uma sequência \{x_n\}_{n\ge1} é crescente (no sentido não estrito) se, para todo n\ge1, vale
x_{n+1}\ge x_n.
Isto significa que nunca ocorre uma queda entre um termo e o seguinte.
  • Dizemos que \{x_n\}_{n\ge1} é decrescente (no sentido não estrito) se, para todo n\ge1, vale
x_{n+1}\le x_n.
Isto significa que nunca ocorre um aumento entre um termo e o seguinte.
Para mostrar que uma sequência NÃO é crescente basta encontrar algum índice n tal que
x_{n+1}<x_n.
Para mostrar que ela NÃO é decrescente basta encontrar algum índice m tal que
x_{m+1}>x_m.
Para provar que não é nem crescente nem decrescente precisamos encontrar ambos: um n com queda e um m com subida.

Passo 3

Primeiro exemplo: proponho
a_n = (-1)^n,\quad n\ge1.
Vamos escrever os primeiros termos para “ver com os olhos”:
a_1 = (-1)^1 = -1,\qquad a_2 = (-1)^2 = 1,\qquad a_3 = -1,\qquad a_4 = 1,\\ \ldots
Aqui já vemos comportamento alternado: a_2>a_1 (subida) e a_3<a_2 (queda). Portanto existe um aumento e existe uma diminuição, logo a sequência não é crescente e também não é decrescente.
Para mostrar isso de forma algebraica, calcule a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n = (-1)^{n+1}-(-1)^n = (-1)^n(-1-1) = -2(-1)^n.
Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e a_{n+1}-a_n = -2(-1) = 2>0 (subida). Se n é par então (-1)^n=1 e a_{n+1}-a_n=-2<0 (queda). Como aparecem ambos os sinais, a sequência é alternante e, portanto, NÃO é crescente nem decrescente.

Passo 4

Segundo exemplo: proponho
b_n = \frac{(-1)^n}{n},\quad n\ge1.
Vamos listar os primeiros termos:
b_1 = -1,\qquad b_2 = \tfrac{1}{2},\qquad b_3 = -\tfrac{1}{3},\qquad b_4 = \tfrac{1}{4},\\ \ldots
Observação direta: b_2>b_1 (subida de -1 para 1/2) e b_3<b_2 (queda de 1/2 para -1/3). Logo temos ao menos uma subida e ao menos uma descida, então a sequência não é crescente nem decrescente.
Também podemos ver isso calculando a diferença:
b_{n+1}-b_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n} = (-1)^n\!\left(-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right) = -(-1)^n\cdot\frac{2n+1}{n(n+1)}.
O fator \dfrac{2n+1}{n(n+1)} é sempre positivo; assim o sinal de b_{n+1}-b_n é o contrário do sinal de (-1)^n. Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e b_{n+1}-b_n>0 (subida). Se n é par então (-1)^n=1 e b_{n+1}-b_n<0 (queda). De novo aparecem ambos os sinais, confirmando que \{b_n\} não é nem crescente nem decrescente.

Passo 5

Resumo didático rápido (para a prova): ao receber uma sequência, escreva alguns termos iniciais para “sentir” se alterna; calcule x_{n+1}-x_n para ver o sinal geral. Se o sinal muda com n (às vezes positivo, às vezes negativo) então a sequência não é monotônica (nem crescente nem decrescente). As duas sequências acima são exemplos clássicos de alternância que você pode usar na prova.

Resposta

\displaystyle a_n = (-1)^n,\quad n\ge1
\displaystyle b_n = \frac{(-1)^n}{n},\quad n\ge1

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