Dê dois exemplos de sequências que não são crescentes e nem decrescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.
Passo 1
O que o enunciado pede: dar dois exemplos de sequências que não são crescentes nem decrescentes, diferentes das que aparecem nos exercícios 2 e 3.
Informações dadas: nenhuma sequência específica foi enviada agora — só a solicitação de dois exemplos distintos.
O que vou entregar: duas sequências explícitas e a verificação passo a passo (mostrando por que cada uma NÃO é crescente e NÃO é decrescente).
Informações dadas: nenhuma sequência específica foi enviada agora — só a solicitação de dois exemplos distintos.
O que vou entregar: duas sequências explícitas e a verificação passo a passo (mostrando por que cada uma NÃO é crescente e NÃO é decrescente).
Passo 2
Antes de dar os exemplos, vamos lembrar direitinho as definições (explicação passo a passo, sem pressa).
- Dizemos que uma sequência
é crescente (no sentido não estrito) se, para todo , vale
Isto significa que nunca ocorre uma queda entre um termo e o seguinte.
- Dizemos que
é decrescente (no sentido não estrito) se, para todo , vale
Isto significa que nunca ocorre um aumento entre um termo e o seguinte.
Para mostrar que uma sequência NÃO é crescente basta encontrar algum índice tal que
Para mostrar que uma sequência NÃO é crescente basta encontrar algum índice
Para mostrar que ela NÃO é decrescente basta encontrar algum índice
tal que
Para provar que não é nem crescente nem decrescente precisamos encontrar ambos: um
com queda e um
com subida.
Passo 3
Primeiro exemplo: proponho
Vamos escrever os primeiros termos para “ver com os olhos”:
Aqui já vemos comportamento alternado:
(subida) e
(queda). Portanto existe um aumento e existe uma diminuição, logo a sequência não é crescente e também não é decrescente.
Para mostrar isso de forma algebraica, calcule a diferença entre termos consecutivos:
Para mostrar isso de forma algebraica, calcule a diferença entre termos consecutivos:
Se
é ímpar então
e
(subida). Se
é par então
e
(queda). Como aparecem ambos os sinais, a sequência é alternante e, portanto, NÃO é crescente nem decrescente.
Passo 4
Segundo exemplo: proponho
Vamos listar os primeiros termos:
Observação direta:
(subida de
para
) e
(queda de
para
). Logo temos ao menos uma subida e ao menos uma descida, então a sequência não é crescente nem decrescente.
Também podemos ver isso calculando a diferença:
Também podemos ver isso calculando a diferença:
O fator
é sempre positivo; assim o sinal de
é o contrário do sinal de
. Se
é ímpar então
e
(subida). Se
é par então
e
(queda). De novo aparecem ambos os sinais, confirmando que
não é nem crescente nem decrescente.
Passo 5
Resumo didático rápido (para a prova): ao receber uma sequência, escreva alguns termos iniciais para “sentir” se alterna; calcule
para ver o sinal geral. Se o sinal muda com
(às vezes positivo, às vezes negativo) então a sequência não é monotônica (nem crescente nem decrescente). As duas sequências acima são exemplos clássicos de alternância que você pode usar na prova.