Defina o que é uma sequência monótona e o que é uma sequência não monótona.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o que é uma sequência monótona e o que é uma sequência não monótona.
Informações/do que disponho: nenhuma sequência específica foi dada — preciso dar definições formais, exemplos e explicar como testar monotonicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos fixar a notação e lembrar o que é uma sequência. Uma sequência é uma lista ordenada de números, normalmente escrita como (a_n)_{n\in\mathbb{N}} ou apenas (a_n), onde cada termo a_n é um número real associado ao índice natural n. Aqui n varia em \mathbb{N} (por exemplo 1,2,3,\dots).

Passo 3

Definição formal de monotonicidade (intuição antes da fórmula): dizer que uma sequência é “monótona” significa que seus termos andam sempre no mesmo sentido — ou nunca descem (podem subir ou ficar iguais) ou nunca sobem (podem descer ou ficar iguais).
Agora as definições formais e variantes importantes:
  • Uma sequência (a_n) é chamada de não decrescente (ou monotona crescente fraca) se, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n+1} \ge a_n.
Isto significa que cada termo seguinte vale pelo menos o anterior.
  • Uma sequência (a_n) é chamada de estritamente crescente se, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n+1} > a_n.
  • Uma sequência (a_n) é chamada de não crescente (ou monotona decrescente fraca) se, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n+1} \le a_n.
  • Uma sequência (a_n) é chamada de estritamente decrescente se, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n+1} < a_n.
Observação útil: sequências constantes (ou seja, a_{n+1}=a_n para todo n) são ao mesmo tempo não decrescentes e não crescentes, portanto são consideradas monótonas.

Passo 4

Definição de sequência monótona e não monótona (colocando as peças juntas):
  • Dizemos que (a_n) é monótona quando ela é ou não decrescente (toda sucessão de termos não diminui) ou não crescente (toda sucessão de termos não aumenta). Em provas, normalmente basta mostrar uma das duas desigualdades globais para concluir monotonicidade.
  • Dizemos que (a_n) é não monótona quando ela não satisfaz nenhuma das duas propriedades anteriores — isto é, a sequência nem é não decrescente nem é não crescente. Em termos práticos, existem índices i e j tais que
a_{i+1} < a_i \quad\text{e}\quad a_{j+1} > a_j,
logo a sequência muda de sentido em algum ponto (oscila).

Passo 5

Como testar monotonicidade numa prova — truques práticos e exemplos:
  • Teste direto por desigualdade: calcule a_{n+1}-a_n. Se conseguir mostrar que a_{n+1}-a_n \ge 0 para todo n, então a sequência é não decrescente. Se a_{n+1}-a_n \le 0 para todo n, então é não crescente.
  • Para sequências definidas por uma função a_n=f(n) com f diferenciável numa região que contém os naturais envolvidos, um atalho é analisar f'(x): se f'(x)\ge 0 para todo x relevante, então a_n é não decrescente; se f'(x)\le 0, então é não crescente. Atenção: isso exige justificar que o comportamento de f entre inteiros reflete o comportamento nos inteiros.
  • Exemplo 1 (óbvio e rápido): a_n = n. Aqui a_{n+1}-a_n = 1>0, logo (a_n) é estritamente crescente (portanto monótona).
  • Exemplo 2 (clássico): a_n = \dfrac{1}{n}. Aqui a_{n+1}-a_n = \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n(n+1)} < 0, então a sequência é estritamente decrescente.
  • Exemplo 3 (exemplo de prova): a_n=\dfrac{n}{n+1}. Calcule a diferença:
a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0.
Logo (a_n) é não decrescente (na verdade estritamente crescente).
  • Exemplo 4 (não monótona): a_n = (-1)^n. Os primeiros termos são -1, +1, -1, +1,\dots. Aqui não existe desigualdade global do tipo a_{n+1}\ge a_n nem a_{n+1}\le a_n, portanto a sequência é não monótona.

Passo 6

Dicas finais para a prova (resumindo e animando):
  • Sempre tente primeiro calcular a_{n+1}-a_n; é o caminho mais direto.
  • Se não der para simplificar o símbolo, veja se dá para induzir (mostrar por indução que a_{n+1}\ge a_n para todo n) ou usar derivada de f quando a_n=f(n).
  • Lembre que monotonicidade é uma propriedade global: é preciso a desigualdade válida para todo n (ou a partir de algum n se pedirem “eventualmente monotona”).
  • Você consegue! esse tipo de questão é mais sobre prática com desigualdades algébricas do que mágica.

Resposta

Uma sequência (a_n) é monótona se ela for ou não decrescente (para todo n, a_{n+1}\ge a_n) ou não crescente (para todo n, a_{n+1}\le a_n).
Uma sequência (a_n) é não monótona se não for nem não decrescente nem não crescente — isto é, existem índices i,j com a_{i+1}<a_i e a_{j+1}>a_j.

Exercícios relacionados