Defina o que é uma sequência monótona e o que é uma sequência não monótona.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir o que é uma sequência monótona e o que é uma sequência não monótona.
Informações/do que disponho: nenhuma sequência específica foi dada — preciso dar definições formais, exemplos e explicar como testar monotonicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos fixar a notação e lembrar o que é uma sequência. Uma sequência é uma lista ordenada de números, normalmente escrita como
ou apenas
, onde cada termo
é um número real associado ao índice natural
. Aqui
varia em
(por exemplo
).
Passo 3
Definição formal de monotonicidade (intuição antes da fórmula): dizer que uma sequência é “monótona” significa que seus termos andam sempre no mesmo sentido — ou nunca descem (podem subir ou ficar iguais) ou nunca sobem (podem descer ou ficar iguais).
Agora as definições formais e variantes importantes:
- Uma sequência
é chamada de não decrescente (ou monotona crescente fraca) se, para todo ,
Isto significa que cada termo seguinte vale pelo menos o anterior.
- Uma sequência
é chamada de estritamente crescente se, para todo ,
- Uma sequência
é chamada de não crescente (ou monotona decrescente fraca) se, para todo ,
- Uma sequência
é chamada de estritamente decrescente se, para todo ,
Observação útil: sequências constantes (ou seja,
para todo
) são ao mesmo tempo não decrescentes e não crescentes, portanto são consideradas monótonas.
Passo 4
Definição de sequência monótona e não monótona (colocando as peças juntas):
- Dizemos que
é monótona quando ela é ou não decrescente (toda sucessão de termos não diminui) ou não crescente (toda sucessão de termos não aumenta). Em provas, normalmente basta mostrar uma das duas desigualdades globais para concluir monotonicidade. - Dizemos que
é não monótona quando ela não satisfaz nenhuma das duas propriedades anteriores — isto é, a sequência nem é não decrescente nem é não crescente. Em termos práticos, existem índices e tais que
logo a sequência muda de sentido em algum ponto (oscila).
Passo 5
Como testar monotonicidade numa prova — truques práticos e exemplos:
- Teste direto por desigualdade: calcule
. Se conseguir mostrar que para todo , então a sequência é não decrescente. Se para todo , então é não crescente. - Para sequências definidas por uma função
com diferenciável numa região que contém os naturais envolvidos, um atalho é analisar : se para todo relevante, então é não decrescente; se , então é não crescente. Atenção: isso exige justificar que o comportamento de entre inteiros reflete o comportamento nos inteiros. - Exemplo 1 (óbvio e rápido):
. Aqui , logo é estritamente crescente (portanto monótona). - Exemplo 2 (clássico):
. Aqui , então a sequência é estritamente decrescente. - Exemplo 3 (exemplo de prova):
. Calcule a diferença:
Logo
é não decrescente (na verdade estritamente crescente).
- Exemplo 4 (não monótona):
. Os primeiros termos são . Aqui não existe desigualdade global do tipo nem , portanto a sequência é não monótona.
Passo 6
Dicas finais para a prova (resumindo e animando):
- Sempre tente primeiro calcular
; é o caminho mais direto. - Se não der para simplificar o símbolo, veja se dá para induzir (mostrar por indução que
para todo ) ou usar derivada de quando . - Lembre que monotonicidade é uma propriedade global: é preciso a desigualdade válida para todo
(ou a partir de algum se pedirem “eventualmente monotona”). - Você consegue! esse tipo de questão é mais sobre prática com desigualdades algébricas do que mágica.
Resposta
Uma sequência
é monótona se ela for ou não decrescente (para todo
,
) ou não crescente (para todo
,
).
Uma sequência é não monótona se não for nem não decrescente nem não crescente — isto é, existem índices
com
e
.
Uma sequência