Determine o termo geral da sequência:
\left\{-1, \frac{1}{3},-\frac{1}{5}, \frac{1}{7},-\frac{1}{9}, \frac{1}{11}, \ldots\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o termo geral da sequência cujos termos são
\{-1, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{7}, -\tfrac{1}{9}, \tfrac{1}{11}, \ldots\}.
Informações dadas (listei os primeiros termos para ficar claro):
  • Primeiro termo: -1 (ou seja -\tfrac{1}{1}).
  • Segundo termo: \tfrac{1}{3}.
  • Terceiro termo: -\tfrac{1}{5}.
  • Quarto termo: \tfrac{1}{7}.
  • Quinto termo: -\tfrac{1}{9}.
  • Sexto termo: \tfrac{1}{11}.
    O que se pede: escrever uma expressão a_n que, para cada n\in\mathbb{N} com n\ge1, dê o n-ésimo termo dessa sequência.

Passo 2

Identificar o padrão dos denominadores (a parte positiva dos termos).
Observe os denominadores: 1,3,5,7,9,11,\ldots — são os números ímpares consecutivos.
Uma forma padrão de escrever o n-ésimo número ímpar (começando por 1 quando n=1) é:
2n-1.
Explicação do porquê: o primeiro ímpar é 1. Cada novo termo soma 2. Assim
\text{índice }n\mapsto 1+(n-1)\cdot 2 = 2n-1.í
Portanto o denominador do n-ésimo termo deve ser \,2n-1.

Passo 3

Identificar o padrão de sinais (o sinal positivo/negativo).
Olhe os sinais dos termos: -,+,-,+,-,+,\ldots — alternam sinal a cada termo, começando por negativo no n=1.
Uma forma compacta de descrever alternância de sinais é usar potências de -1. Note que
(-1)^1=-1,\quad (-1)^2=+1,\quad (-1)^3=-1,\\ \text{etc.}
Isso corresponde exatamente à alternância observada, com sinal negativo quando n é ímpar e positivo quando n é par. Portanto a parte do sinal pode ser representada por (-1)^n.

Passo 4

Combinar os dois padrões (denominador e sinal) para obter o termo geral.
Temos denominador (2n-1) e sinal (-1)^n. Assim uma expressão natural para o n-ésimo termo é
a_n=\frac{(-1)^n}{2n-1},\qquad n=1,2,3,\ldots
Aqui n é o índice natural do termo (começando em 1); a fórmula dá o sinal correto e o denominador ímpar correto.

Passo 5

Verificação rápida com os primeiros termos (para confiar na fórmula).
Substituindo n=1,2,\ldots,6 em a_n=\dfrac{(-1)^n}{2n-1}:
a_1=\frac{(-1)^1}{2\cdot1-1}=\frac{-1}{1}=-1,
a_2=\frac{(-1)^2}{2\cdot2-1}=\frac{+1}{3}=\frac{1}{3},
a_3=\frac{(-1)^3}{2\cdot3-1}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5},
a_4=\frac{(-1)^4}{2\cdot4-1}=\frac{+1}{7}=\frac{1}{7},
a_5=\frac{(-1)^5}{2\cdot5-1}=\frac{-1}{9}=-\frac{1}{9},
a_6=\frac{(-1)^6}{2\cdot6-1}=\frac{+1}{11}=\frac{1}{11}.
Esses valores coincidem com os termos dados, então a fórmula está correta.

Passo 6

Dica prática para prova (pequeno truque): se a sequência começasse em n=0 seria necessário ajustar a potência de -1 (por exemplo (-1)^{n+1} ou (-1)^{n} dependendo do sinal do termo para n=0). Sempre cheque o sinal do primeiro termo e escolha a potência para que ela reproduza esse sinal quando n toma o valor inicial.

Resposta

a_n=\frac{(-1)^n}{2n-1},\qquad n=1,2,3,\ldots

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