Determine o termo geral da sequência:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o termo geral da sequência cujos termos são
.
Informações dadas (listei os primeiros termos para ficar claro):
Informações dadas (listei os primeiros termos para ficar claro):
- Primeiro termo:
(ou seja ). - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Quarto termo:
. - Quinto termo:
. - Sexto termo:
.
O que se pede: escrever uma expressãoque, para cada com , dê o -ésimo termo dessa sequência.
Passo 2
Identificar o padrão dos denominadores (a parte positiva dos termos).
Observe os denominadores: — são os números ímpares consecutivos.
Uma forma padrão de escrever o -ésimo número ímpar (começando por
quando
) é:
Observe os denominadores:
Uma forma padrão de escrever o
Explicação do porquê: o primeiro ímpar é
. Cada novo termo soma
. Assim
Portanto o denominador do
-ésimo termo deve ser
.
Passo 3
Identificar o padrão de sinais (o sinal positivo/negativo).
Olhe os sinais dos termos: — alternam sinal a cada termo, começando por negativo no
.
Uma forma compacta de descrever alternância de sinais é usar potências de . Note que
Olhe os sinais dos termos:
Uma forma compacta de descrever alternância de sinais é usar potências de
Isso corresponde exatamente à alternância observada, com sinal negativo quando
é ímpar e positivo quando
é par. Portanto a parte do sinal pode ser representada por
.
Passo 4
Combinar os dois padrões (denominador e sinal) para obter o termo geral.
Temos denominador e sinal
. Assim uma expressão natural para o
-ésimo termo é
Temos denominador
Aqui
é o índice natural do termo (começando em
); a fórmula dá o sinal correto e o denominador ímpar correto.
Passo 5
Verificação rápida com os primeiros termos (para confiar na fórmula).
Substituindo em
:
Substituindo
Esses valores coincidem com os termos dados, então a fórmula está correta.
Passo 6
Dica prática para prova (pequeno truque): se a sequência começasse em
seria necessário ajustar a potência de
(por exemplo
ou
dependendo do sinal do termo para
). Sempre cheque o sinal do primeiro termo e escolha a potência para que ela reproduza esse sinal quando
toma o valor inicial.