Dê dois exemplos de sequências crescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê dois exemplos de sequências crescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.”
Informações disponíveis: o texto dos exercícios 2 e 3 não foi fornecido aqui. Portanto não é possível verificar exatamente quais sequências aparecem nesses exercícios. Mesmo assim, posso fornecer dois exemplos claros de sequências crescentes. Se algum coincidir com os exercícios 2 ou 3, posso ter oferecido variações — aqui vou escolher exemplos simples e diferentes entre si (um convergente e limitado, outro estritamente crescente e divergente) e mostrar passo a passo por que são crescentes.
Informações disponíveis: o texto dos exercícios 2 e 3 não foi fornecido aqui. Portanto não é possível verificar exatamente quais sequências aparecem nesses exercícios. Mesmo assim, posso fornecer dois exemplos claros de sequências crescentes. Se algum coincidir com os exercícios 2 ou 3, posso ter oferecido variações — aqui vou escolher exemplos simples e diferentes entre si (um convergente e limitado, outro estritamente crescente e divergente) e mostrar passo a passo por que são crescentes.
Passo 2
O que significa “sequência crescente” (explicação didática):
- Uma sequência
é dita estritamente crescente se, para todo , vale
- Às vezes chamamos apenas de “crescente” a sequência não decrescente, que satisfaz
Como verificar que uma sequência é crescente na prova: duas ferramentas fáceis e práticas
- Calcular a diferença
. Se conseguir mostrar para todo (ou para não decrescente), pronto: é crescente. - Quando a sequência vem de uma função
(isto é, ) e se tiver derivada, verificar se para em costuma ser suficiente (porque função crescente em leva a sequência crescente). Nas provas sem cálculo, preferir a verificação por diferença.
Passo 3
Exemplo 1 (crescente e limitado — útil em provas que pedem convergência):
Defina
Defina
Prova de que
é estritamente crescente:
Calcule a diferença:
Calcule a diferença:
Como
para todo
, temos
para todo
. Portanto
é estritamente crescente.
Observação adicional (intuição útil para prova): é também limitada acima por
e, por ser monotona crescente e limitada, converge; de fato
. Isso é bom para questões que combinam monotonicidade e limites.
Observação adicional (intuição útil para prova):
Passo 4
Exemplo 2 (estritamente crescente e divergente — tipo diferente do primeiro):
Defina
Defina
Prova de que
é estritamente crescente:
Calcule a diferença:
Calcule a diferença:
Para todo
temos
, logo
e, como o logaritmo natural é estritamente crescente,
. Portanto
para todo
, o que mostra que
é estritamente crescente.
Observação adicional: não é limitada acima —
. Então este exemplo tem comportamento qualitativamente diferente do primeiro.
Observação adicional:
Passo 5
Dicas rápidas práticas para a prova (como reconhecer/produzir sequências crescentes):
- Se a sequência é de forma
com e , normalmente é crescente, porque a parte subtraída diminui com . Verifique por diferença. - Se
com para , então é crescente. Use isso se cálculo for permitido. - Para sequências positivas, uma verificação alternativa é ver o quociente
; isso às vezes é mais fácil (por exemplo para com , já se vê que é crescente porque o quociente é ). - Se precisa garantir que os exemplos sejam “diferentes” de sequências dadas em outro exercício e não se tem acesso a esses exercícios, escolha uma com limite finito (como
ou ) e outra divergente (como ou ), para cobrir casos distintos.