Dê dois exemplos de sequências crescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê dois exemplos de sequências crescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3.”
Informações disponíveis: o texto dos exercícios 2 e 3 não foi fornecido aqui. Portanto não é possível verificar exatamente quais sequências aparecem nesses exercícios. Mesmo assim, posso fornecer dois exemplos claros de sequências crescentes. Se algum coincidir com os exercícios 2 ou 3, posso ter oferecido variações — aqui vou escolher exemplos simples e diferentes entre si (um convergente e limitado, outro estritamente crescente e divergente) e mostrar passo a passo por que são crescentes.

Passo 2

O que significa “sequência crescente” (explicação didática):
  • Uma sequência \{x_n\}_{n=1}^\infty é dita estritamente crescente se, para todo n\in\mathbb{N}, vale
x_{n+1}>x_n.
  • Às vezes chamamos apenas de “crescente” a sequência não decrescente, que satisfaz
x_{n+1}\ge x_n.
Como verificar que uma sequência é crescente na prova: duas ferramentas fáceis e práticas
  1. Calcular a diferença \,x_{n+1}-x_n. Se conseguir mostrar \,x_{n+1}-x_n>0 para todo n (ou \ge0 para não decrescente), pronto: é crescente.
  2. Quando a sequência vem de uma função f (isto é, x_n=f(n)) e se f tiver derivada, verificar se f'(x)>0 para x em [1,\infty) costuma ser suficiente (porque função crescente em [1,\infty) leva a sequência crescente). Nas provas sem cálculo, preferir a verificação por diferença.

Passo 3

Exemplo 1 (crescente e limitado — útil em provas que pedem convergência):
Defina
a_n = 1 - \frac{1}{n},\qquad n\ge 1.
Prova de que \{a_n\} é estritamente crescente:
Calcule a diferença:
a_{n+1}-a_n = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right) = -\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n} = \frac{1}{n(n+1)}.
Como \frac{1}{n(n+1)}>0 para todo n\ge1, temos a_{n+1}-a_n>0 para todo n. Portanto \{a_n\} é estritamente crescente.
Observação adicional (intuição útil para prova): \{a_n\} é também limitada acima por 1 e, por ser monotona crescente e limitada, converge; de fato \lim_{n\to\infty} a_n = 1. Isso é bom para questões que combinam monotonicidade e limites.

Passo 4

Exemplo 2 (estritamente crescente e divergente — tipo diferente do primeiro):
Defina
b_n = \ln(n),\qquad n\ge 1.
Prova de que \{b_n\} é estritamente crescente:
Calcule a diferença:
b_{n+1}-b_n = \ln(n+1)-\ln(n)=\ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para todo n\ge1 temos \frac{1}{n}>0, logo 1+\frac{1}{n}>1 e, como o logaritmo natural é estritamente crescente, \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)>0. Portanto b_{n+1}-b_n>0 para todo n, o que mostra que \{b_n\} é estritamente crescente.
Observação adicional: \{b_n\} não é limitada acima — \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty. Então este exemplo tem comportamento qualitativamente diferente do primeiro.

Passo 5

Dicas rápidas práticas para a prova (como reconhecer/produzir sequências crescentes):
  • Se a sequência é de forma x_n = c - \dfrac{d}{n^p} com d>0 e p>0, normalmente é crescente, porque a parte subtraída diminui com n. Verifique por diferença.
  • Se x_n=f(n) com f'(x)>0 para x\ge1, então x_n é crescente. Use isso se cálculo for permitido.
  • Para sequências positivas, uma verificação alternativa é ver o quociente x_{n+1}/x_n>1; isso às vezes é mais fácil (por exemplo para x_n=a^n com a>1, já se vê que é crescente porque o quociente é a).
  • Se precisa garantir que os exemplos sejam “diferentes” de sequências dadas em outro exercício e não se tem acesso a esses exercícios, escolha uma com limite finito (como 1-1/n ou 1-2^{-n}) e outra divergente (como \ln n ou n), para cobrir casos distintos.

Resposta

a_n = 1 - \dfrac{1}{n},\quad n\ge1
b_n = \ln(n),\quad n\ge1

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