Dê dois exemplos de sequências decrescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3 .
Passo 1
O enunciado pede que eu dê dois exemplos de sequências decrescentes, diferentes daquelas que aparecem nos exercícios 2 e 3. Informação disponível:
- Solicitação: fornecer dois exemplos de sequências decrescentes.
- Não foram enviados os exercícios 2 e 3; portanto vou escolher dois exemplos claros e distintos entre si (um positivo que tende a zero e outro que é estritamente decrescente e não limitado superiormente).
Passo 2
O que significa “sequência decrescente”?
- Uma sequência
é estritamente decrescente se, para todo ,
- Às vezes usa-se o termo “não crescente” ou “decrescente fraca” para permitir igualdade, isto é
. Aqui vou dar exemplos estritamente decrescentes (com ).
Dica prática para a prova: para mostrar que uma sequência é decrescente verifique uma das alternativas abaixo:
- Compare diretamente
com e manipule algebricamente para ver que . - Se
para alguma função bem comportada, mostre que para suficientemente grande (ou para todo ), o que implica que é decrescente e, portanto, é decrescente.
Vou aplicar a alternativa 1 (álgebra direta) nos exemplos abaixo, e comentar a alternativa 2 quando for útil.
Passo 3
Exemplo 1: escolherei a sequência
Mostrando que é decrescente (álgebra direta):
- Calculo a diferença
- Coloco em denominador comum:
- Como
para todo , segue que
Portanto
para todo
, logo
é estritamente decrescente.
Pequena ilustração com os primeiros termos: .
Pequena ilustração com os primeiros termos:
Passo 4
Exemplo 2: escolherei uma sequência de termos inteiros decrescentes
Mostrando que é decrescente (álgebra direta):
- Compare
e :
- Claramente
para todo
. Portanto
é estritamente decrescente.
Primeiros termos: . Note que esta é uma sequência decrescente e não limitada inferiormente (vai a
), diferente qualitativamente do exemplo 1 que é positiva e tende a
.
Primeiros termos:
Passo 5
Comentários finais e dicas rápidas para a prova
- Para testar monotonicidade normalmente tente calcular
. Se obtiver uma expressão negativa para todo da sequência, já está provado. - Outra técnica: se
com diferenciável e para , então é decrescente. Ex.: para , e . - Escolha exemplos variados na hora da prova (racionais que tendem a zero, polinomiais/lineares negativos, exponenciais decrescentes etc.) para mostrar compreensão do conceito.