Dê dois exemplos de sequências decrescentes diferentes daquelas que constam nos exercícios 2 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede que eu dê dois exemplos de sequências decrescentes, diferentes daquelas que aparecem nos exercícios 2 e 3. Informação disponível:
  • Solicitação: fornecer dois exemplos de sequências decrescentes.
  • Não foram enviados os exercícios 2 e 3; portanto vou escolher dois exemplos claros e distintos entre si (um positivo que tende a zero e outro que é estritamente decrescente e não limitado superiormente).

Passo 2

O que significa “sequência decrescente”?
  • Uma sequência \{a_n\}_{n=1}^\infty é estritamente decrescente se, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n+1}<a_n.
  • Às vezes usa-se o termo “não crescente” ou “decrescente fraca” para permitir igualdade, isto é a_{n+1}\le a_n. Aqui vou dar exemplos estritamente decrescentes (com <).
    Dica prática para a prova: para mostrar que uma sequência é decrescente verifique uma das alternativas abaixo:
  1. Compare diretamente a_{n+1} com a_n e manipule algebricamente para ver que a_{n+1}-a_n<0.
  2. Se a_n=f(n) para alguma função f bem comportada, mostre que f'(x)<0 para x suficientemente grande (ou para todo x\ge1), o que implica que f é decrescente e, portanto, \{a_n\} é decrescente.
    Vou aplicar a alternativa 1 (álgebra direta) nos exemplos abaixo, e comentar a alternativa 2 quando for útil.

Passo 3

Exemplo 1: escolherei a sequência
a_n=\frac{1}{n},\qquad n\in\mathbb{N}.
Mostrando que é decrescente (álgebra direta):
  • Calculo a diferença
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}.
  • Coloco em denominador comum:
\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}.
  • Como n(n+1)>0 para todo n\in\mathbb{N}, segue que
a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{n(n+1)}<0.
Portanto a_{n+1}<a_n para todo n, logo \{a_n\} é estritamente decrescente.
Pequena ilustração com os primeiros termos: a_1=1,\\ a_2=\tfrac{1}{2},\\ a_3=\tfrac{1}{3},\dots.

Passo 4

Exemplo 2: escolherei uma sequência de termos inteiros decrescentes
b_n=-n,\qquad n\in\mathbb{N}.
Mostrando que é decrescente (álgebra direta):
  • Compare b_{n+1} e b_n:
b_{n+1}=- (n+1),\qquad b_n=-n.
  • Claramente
b_{n+1}=-n-1 < -n = b_n
para todo n\in\mathbb{N}. Portanto \{b_n\} é estritamente decrescente.
Primeiros termos: b_1=-1,\\ b_2=-2,\\ b_3=-3,\dots. Note que esta é uma sequência decrescente e não limitada inferiormente (vai a -\infty), diferente qualitativamente do exemplo 1 que é positiva e tende a 0.

Passo 5

Comentários finais e dicas rápidas para a prova
  • Para testar monotonicidade normalmente tente calcular a_{n+1}-a_n. Se obtiver uma expressão negativa para todo n da sequência, já está provado.
  • Outra técnica: se a_n=f(n) com f diferenciável e f'(x)<0 para x\ge1, então a_n é decrescente. Ex.: para a_n=1/n, f(x)=1/x e f'(x)=-1/x^2<0.
  • Escolha exemplos variados na hora da prova (racionais que tendem a zero, polinomiais/lineares negativos, exponenciais decrescentes etc.) para mostrar compreensão do conceito.

Resposta

a_n=\dfrac{1}{n},\\ n\in\mathbb{N}
b_n=-n,\\ n\in\mathbb{N}

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