Defina a sequência (
) indutivamente, pondo
.
Esta sequência é conhecida como sequência de Fibonacci. Porque esta sequência diverge? Justifique sua resposta. Por outro lado, defina a sequência formada pela razão entre seus termos, isto é, defina
. Prove que
converge para o número de ouro.
Esta sequência é conhecida como sequência de Fibonacci. Porque esta sequência diverge? Justifique sua resposta. Por outro lado, defina a sequência formada pela razão entre seus termos, isto é, defina
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
Pede duas coisas:
- Justificar por que a sequência
diverge (isto é, porque seus termos crescem sem limite). - Definir
e provar que converge para o número de ouro.
Informações relevantes fornecidas: a recorrência linear de segunda ordem com termos iniciais
. Não há outras condições extras.
Passo 2
Vamos resolver a recorrência obtendo uma fórmula explícita para
. Técnica: procurar soluções da forma
. Substituindo na recorrência
(dividindo por
com
) obtemos a equação característica
ou seja
Usamos a fórmula quadrática para resolver essa equação. A solução da equação
é
Denotemos
Observações numéricas e qualitativas:
e
com
.
Passo 3
Pela teoria das recorrências lineares homogêneas, a solução geral da recorrência é combinação linear das potências das raízes:
para constantes
Uma forma mais direta é escrever a solução deslocada em uma potência menor (frequente na formulação da fórmula de Binet):
propor
propor
Então, com
,
Da primeira equação
(porque
) e
Logo
Portanto
onde na última igualdade usamos a identidade
(verificação direta). Substituindo em
obtemos a forma clássica de Binet:
(Verificação rápida: para
dá
, para
dá
, consistente com os dados iniciais.)]
Passo 4
Com a fórmula explícita em mãos, mostramos que
diverge. Observe que
, então
quando
. Assim
Como
, temos
. O fator
tende para
porque
. Logo o produto tende a
. Portanto
ou seja, a sequência diverge para
.
Obs. intuitiva e alternativa (sem Binet): todos os termos são positivos e para
temos
, então a sequência torna-se estritamente crescente a partir de
. Como cresce somando sempre um número positivo, não pode ficar limitada e, portanto, diverge. A fórmula explícita dá uma razão de crescimento exponencial com base
.
Passo 5
Agora definimos
. Usamos a fórmula de Binet para estudar o limite:
Fatorando
no numerador e no denominador:
Como
, os termos
e
tendem a
quando
. Portanto o quociente acima tende a
, e assim
Passo 6
Comentário pedagógico rápido: a razão entre termos sucessivos aproxima-se cada vez mais de
porque
domina
no comportamento assintótico de
. Outra abordagem (sem usar Binet) é observar a relação entre as razões:
e então analisar as subsequências pares e ímpares para mostrar convergência para a solução positiva da equação
, que é a mesma
. Ambas as vias levam ao mesmo valor
.
Resposta
A sequência
diverge para
.
.