Defina a sequência ( a_{n} ) indutivamente, pondo
a_{1}=1, \quad a_{2}=1, \quad a_{3}=a_{2}+a_{1}=2, \quad a_{4}=a_{3}+a_{2}=3, \ldots, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, \quad \forall \in \mathbb{N}.
Esta sequência é conhecida como sequência de Fibonacci. Porque esta sequência diverge? Justifique sua resposta. Por outro lado, defina a sequência formada pela razão entre seus termos, isto é, defina \varphi_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}. Prove que \left(\varphi_{n}\right) converge para o número de ouro.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right) definida por
a_{1}=1,\qquad a_{2}=1,\qquad a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\quad\forall n\in\mathbb{N}.
Pede duas coisas:
  1. Justificar por que a sequência \left(a_{n}\right) diverge (isto é, porque seus termos crescem sem limite).
  2. Definir \varphi_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} e provar que \left(\varphi_{n}\right) converge para o número de ouro.
Informações relevantes fornecidas: a recorrência linear de segunda ordem com termos iniciais a_{1}=1,a_{2}=1. Não há outras condições extras.

Passo 2

Vamos resolver a recorrência obtendo uma fórmula explícita para a_{n}. Técnica: procurar soluções da forma r^{n}. Substituindo na recorrência r^{n+2}=r^{n+1}+r^{n} (dividindo por r^{n} com r\neq0) obtemos a equação característica
r^{2}=r+1,
ou seja
r^{2}-r-1=0.
Usamos a fórmula quadrática para resolver essa equação. A solução da equação r^{2}-r-1=0 é
r=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Denotemos
\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Observações numéricas e qualitativas: \alpha\approx1,618>1 e \beta\approx-0,618 com |\beta|<1.

Passo 3

Pela teoria das recorrências lineares homogêneas, a solução geral da recorrência é combinação linear das potências das raízes:
a_{n}=C\alpha^{n}+D\beta^{n},
para constantes C\) e \(D\) a determinar pelos dados iniciais. Usamos \(n=1\) e \(n=2\): \[\begin{cases} C\alpha+D\beta=a_{1}=1,\\[4pt] C\alpha^{2}+D\beta^{2}=a_{2}=1. \end{cases}
Uma forma mais direta é escrever a solução deslocada em uma potência menor (frequente na formulação da fórmula de Binet):
propor
a_{n}=A\alpha^{n-1}+B\beta^{n-1}.
Então, com n=1\] e \[n=2,
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] A\alpha+B\beta=1. \end{cases}
Da primeira equação B=1-A\]. Substituindo na segunda: \[A\alpha+(1-A)\beta=1 \quad\Rightarrow\quad A(\alpha-\beta)=1-\beta.\] Mas \(\alpha-\beta=\sqrt{5} (porque \alpha-\beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}) e
1-\beta=1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\alpha.
Logo
A=\frac{1-\beta}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha}{\sqrt{5}}.
Portanto
B=1-A=1-\frac{\alpha}{\sqrt{5}}=-\frac{\beta}{\sqrt{5}},
onde na última igualdade usamos a identidade \sqrt{5}-\alpha=-\beta (verificação direta). Substituindo em a_{n}=A\alpha^{n-1}+B\beta^{n-1} obtemos a forma clássica de Binet:
a_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}}\quad\text{para todo }n\ge1.
(Verificação rápida: para n=1 (\alpha-\beta)/\sqrt{5}=1, para n=2 (\alpha^{2}-\beta^{2})/\sqrt{5}=1, consistente com os dados iniciais.)]

Passo 4

Com a fórmula explícita em mãos, mostramos que \left(a_{n}\right) diverge. Observe que |\beta|<1, então \beta^{n}\to0 quando n\to\infty. Assim
a_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}}=\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{5}}\left(1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{n}\right).
Como \alpha>1, temos \alpha^{n}\to+\infty. O fator \left(1-(\beta/\alpha)^{n}\right) tende para 1 porque |\beta/\alpha|<1. Logo o produto tende a +\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty,
ou seja, a sequência diverge para +\infty.
Obs. intuitiva e alternativa (sem Binet): todos os termos são positivos e para n\ge2 temos a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}>a_{n}, então a sequência torna-se estritamente crescente a partir de n=2. Como cresce somando sempre um número positivo, não pode ficar limitada e, portanto, diverge. A fórmula explícita dá uma razão de crescimento exponencial com base \alpha>1.

Passo 5

Agora definimos \varphi_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}. Usamos a fórmula de Binet para estudar o limite:
\varphi_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\dfrac{\alpha^{\,n+1}-\beta^{\,n+1}}{\sqrt{5}}}{\dfrac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}}} =\frac{\alpha^{\,n+1}-\beta^{\,n+1}}{\alpha^{n}-\beta^{n}}.
Fatorando \alpha^{n} no numerador e no denominador:
\varphi_{n}=\alpha\cdot\frac{1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^{n+1}}{1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^{n}}.
Como |\beta/\alpha|<1, os termos \left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^{n} e \left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^{n+1} tendem a 0 quando n\to\infty. Portanto o quociente acima tende a 1, e assim
\lim_{n\to\infty}\varphi_{n}=\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido: a razão entre termos sucessivos aproxima-se cada vez mais de \alpha porque \alpha^{n} domina \beta^{n} no comportamento assintótico de a_{n}. Outra abordagem (sem usar Binet) é observar a relação entre as razões:
\varphi_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}+a_{n}}{a_{n+1}}=1+\frac{1}{\varphi_{n}},
e então analisar as subsequências pares e ímpares para mostrar convergência para a solução positiva da equação x=1+\frac{1}{x}, que é a mesma \alpha. Ambas as vias levam ao mesmo valor \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.

Resposta

A sequência \left(a_{n}\right) diverge para +\infty.
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\varphi_{n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

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