Utilize o método de Newton Raphson para encontrar soluções com precisão de
para os problemas a seguir:
para
Passo 1
Entendido o que o exercício pede. Temos a equação
e precisamos encontrar soluções (raízes) nessa precisão
nos intervalos
,
e
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
os intervalos onde procurar as raízes são
,
e
e a função é
.
A resolução começa a partir daqui.
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Apresentando o método que vamos usar (Newton–Raphson) e as fórmulas necessárias, explicadas passo a passo.
Definimos a função
A derivada necessária é
Explicação das variáveis e da fórmula do método:
-
é a aproximação atual da raiz. -
é a próxima aproximação calculada a partir de . - A fórmula do método de Newton–Raphson é
Critério de parada (o que significa "precisão
") — aqui vou usar o critério baseado no resíduo: paro quando
ou seja, quando o valor absoluto de
na aproximação é menor que
. Esse critério garante que a aproximação satisfaz a equação até o erro desejado. Também verificarei se as iterações convergem de forma razoável (mudança entre
e
pequena).
Escolha do chute inicial: para cada intervalo vou começar pelo ponto médio do intervalo (chute simples e eficaz na prática).
Agora aplico o método em cada intervalo, com cálculos detalhados.
Passo 3
Intervalo
. Escolhi o chute inicial
(ponto médio).
Calculo
e
em
:
Aplicando Newton:
Agora avalio o resíduo em
:
Para calcular e
posso usar aproximações (desenvolvimento em série ou combinação de valores conhecidos). Obtém-se aproximadamente
Para calcular
logo
Como
, atingimos a precisão desejada. Portanto a aproximação final para a raiz no primeiro intervalo é
.
Passo 4
Intervalo
. Escolhi o chute inicial
.
Calculo inicial:
Aplicando Newton:
Avalio
em
:
Note que está perto de
e
. Usando isso:
Note que
logo
Ainda não satisfeito (
), faço mais uma iteração.
Calculo
:
Aplicando Newton:
Avalio o resíduo em
:
logo
e
. Critério satisfeito. A aproximação final para a raiz no segundo intervalo é
.
Passo 5
Intervalo
. Escolhi o chute inicial
.
Calculo inicial:
Note que está pouco maior que
(
), então
.
Note que
Logo
Derivada:
Aplicando Newton:
Avalio o resíduo em
:
Aqui está muito próximo de
:
, então
Aqui
logo
Como
, atingimos a precisão desejada. A aproximação final para a raiz no terceiro intervalo é
.