Utilize o método de Newton Raphson para encontrar soluções com precisão de \epsilon= 10^{-2} para os problemas a seguir:
\sin x-e^{-x}=0 \quad para 0 \leq x \leq 1,3 \leq x \leq 4,6 \leq x \leq 7

Passo 1

Entendido o que o exercício pede. Temos a equação
\sin x - e^{-x} = 0
e precisamos encontrar soluções (raízes) nessa precisão \epsilon = 10^{-2} nos intervalos
[0,1], [3,4] e [6,7].
Informações relevantes dadas:
\epsilon = 10^{-2},
os intervalos onde procurar as raízes são [0,1], [3,4] e [6,7] e a função é f(x)=\sin x - e^{-x}.
A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Apresentando o método que vamos usar (Newton–Raphson) e as fórmulas necessárias, explicadas passo a passo.
Definimos a função
f(x)=\sin x - e^{-x}.
A derivada necessária é
f'(x)=\frac{d}{dx}(\sin x) - \frac{d}{dx}(e^{-x})=\cos x + e^{-x}.
Explicação das variáveis e da fórmula do método:
  • x_n é a aproximação atual da raiz.
  • x_{n+1} é a próxima aproximação calculada a partir de x_n.
  • A fórmula do método de Newton–Raphson é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Critério de parada (o que significa "precisão \epsilon") — aqui vou usar o critério baseado no resíduo: paro quando
|f(x_n)|<\epsilon,
ou seja, quando o valor absoluto de f na aproximação é menor que \epsilon=10^{-2}. Esse critério garante que a aproximação satisfaz a equação até o erro desejado. Também verificarei se as iterações convergem de forma razoável (mudança entre x_n e x_{n+1} pequena).
Escolha do chute inicial: para cada intervalo vou começar pelo ponto médio do intervalo (chute simples e eficaz na prática).
Agora aplico o método em cada intervalo, com cálculos detalhados.

Passo 3

Intervalo [0,1]. Escolhi o chute inicial x_0=0,5 (ponto médio).
Calculo f e f' em x_0:
f(0,5)=\sin(0,5)-e^{-0,5}\approx 0,479425539-0,60653066\approx -0,12710512,
f'(0,5)=\cos(0,5)+e^{-0,5}\approx 0,877582562+0,60653066\approx 1,48411322.
Aplicando Newton:
x_1 = 0,5 - \frac{-0,12710512}{1,48411322}\approx 0,5 + 0,08567 \approx 0,58567.
Agora avalio o resíduo em x_1:
Para calcular \sin(0,58567) e e^{-0,58567} posso usar aproximações (desenvolvimento em série ou combinação de valores conhecidos). Obtém-se aproximadamente
\sin(0,58567)\approx 0,55275,\qquad e^{-0,58567}\approx 0,55667,
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f(0,58567)\approx 0,55275-0,55667\approx -0,00392.
Como |f(0,58567)|\approx 0,00392<\epsilon=0,01, atingimos a precisão desejada. Portanto a aproximação final para a raiz no primeiro intervalo é x\approx 0,58567.

Passo 4

Intervalo [3,4]. Escolhi o chute inicial x_0=3,5.
Calculo inicial:
f(3,5)=\sin(3,5)-e^{-3,5}\approx -0,35078323-0,03019738\approx -0,38098061,
f'(3,5)=\cos(3,5)+e^{-3,5}\approx -0,93645669+0,03019738\approx -0,90625931.
Aplicando Newton:
x_1 = 3,5 - \frac{-0,38098061}{-0,90625931}=3,5-\frac{0,38098061}{0,90625931}\approx 3,07956.
Avalio f em x_1:
Note que 3,07956 está perto de \pi e \pi-3,07956\approx 0,06203. Usando isso:
\sin(3,07956)\approx \sin(0,06203)\approx 0,06203,
e^{-3,07956}\approx 0,04978707\cdot e^{-0,07956}\approx 0,04599,
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f(3,07956)\approx 0,06203-0,04599\approx 0,01604.
Ainda não satisfeito ( 0,01604>\,0,01), faço mais uma iteração.
Calculo f'(3,07956):
f'(3,07956)=\cos(3,07956)+e^{-3,07956}\approx -0,99808+0,04599\approx -0,95209.
Aplicando Newton:
x_2 = 3,07956 - \frac{0,01604}{-0,95209}\approx 3,07956 + 0,01684 \approx 3,09640.
Avalio o resíduo em x_2:
\pi - 3,09640 \approx 0,04519,\qquad \sin(3,09640)\approx \sin(0,04519)\approx 0,04517,
e^{-3,09640}\approx 0,04520,
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f(3,09640)\approx 0,04517-0,04520\approx -0,00003,
e |f(3,09640)|\approx 3\cdot 10^{-5}<0,01. Critério satisfeito. A aproximação final para a raiz no segundo intervalo é x\approx 3,09640.

Passo 5

Intervalo [6,7]. Escolhi o chute inicial x_0=6,5.
Calculo inicial:
Note que 6,5 está pouco maior que 2\pi ( 2\pi\approx 6,28319), então 6,5-2\pi\approx 0,21682.
\sin(6,5)\approx \sin(0,21682)\approx 0,21504,
e^{-6,5}\approx e^{-6}\cdot e^{-0,5}\approx 0,00247875\cdot 0,60653066\approx 0,001502.
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f(6,5)\approx 0,21504-0,001502\approx 0,21354.
Derivada:
f'(6,5)=\cos(6,5)+e^{-6,5}\approx \cos(0,21682)+0,001502\approx 0,97660+0,001502\approx 0,97810.
Aplicando Newton:
x_1 = 6,5 - \frac{0,21354}{0,97810}\approx 6,5 - 0,21827 \approx 6,28173.
Avalio o resíduo em x_1:
Aqui x_1 está muito próximo de 2\pi: x_1-2\pi\approx -0,001455, então
\sin(6,28173)\approx \sin(2\pi-0,001455)\approx -0,001455,
e^{-6,28173}\approx e^{-6}\cdot e^{-0,28173}\approx 0,00247875\cdot 0,75419\approx 0,001869,
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f(6,28173)\approx -0,001455-0,001869\approx -0,003324.
Como |f(6,28173)|\approx 0,003324<0,01, atingimos a precisão desejada. A aproximação final para a raiz no terceiro intervalo é x\approx 6,28173.

Resposta

x\approx 0,58567
x\approx 3,09640
x\approx 6,28173

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