Utilize o método de Newton Raphson para encontrar soluções com precisão de
para os problemas a seguir:
para
e
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson e encontrar soluções da equação
com precisão
nos dois intervalos dados:
e
.
Informações relevantes do enunciado:
- A função a ser resolvida é
. - Temos dois intervalos onde existem raízes (isso pode ser visto porque há mudança de sinal nos extremos; por exemplo
e , logo uma raiz em ; e , , logo uma raiz em ). - Precisamos aplicar Newton–Raphson até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que
(critério que usaremos).
Passo 2
Apresentando o método e as fórmulas que vamos usar — aqui ensino o método passo a passo, como se estivéssemos juntos na prova.
O método de Newton–Raphson itera a partir de uma aproximação inicial
usando a fórmula
Explicando: em cada passo calculamos o valor da função
e da sua derivada
; a fração
é a correção que subtraímos de
para nos aproximarmos da raiz. A razão desta fórmula é linearizar
em torno de
(reta tangente) e tomar a intersecção dessa reta com o eixo
.
Para a nossa função temos
e derivando,
Aqui cada termo significa:
-
é a parte quadrática; sua derivada é . -
tem derivada . - Somando obtemos
acima.
Critério de parada escolhido: vamos parar quando
Esse é um critério direto e prático: garante que a aproximação não muda mais que
entre iterações.
Passo 3
Escolha das aproximações iniciais (sempre dentro dos intervalos dados):
- Para a raiz em
tomo (o ponto médio; é uma escolha comum e simples). - Para a raiz em
tomo (próximo ao centro do intervalo e onde não é zero).
Motivo: é preferível começar com um valor dentro do intervalo onde sabemos que existe a raiz (pela mudança de sinal). Se a escolha fizesse
muito pequena, o método poderia divergir; aqui
e
são razoáveis.
Passo 4
Iterações para a raiz no intervalo
, com
.
Calculemos passo a passo (cada número escrito com precisão suficiente para a conta — explico as contas para você poder refazer à mão):
- Avaliando em
:
Aplicando Newton:
- Avaliando em
:
Calculemos as partes:
Logo
A derivada:
Correção:
Portanto
- Verificação do critério:
Portanto já atingimos a precisão exigida
. A raiz aproximada encontrada é
(valor com mais dígitos:
).
Observação didática: se quisermos, poderíamos fazer mais uma iteração para aumentar a precisão; aqui paramos porque o requisito do enunciado era
.
Passo 5
Iterações para a raiz no intervalo
, com
.
- Avaliando em
:
Aplicando Newton:
- Avaliando em
:
Logo
A derivada:
Correção:
Portanto
- Verificação do critério:
Assim paramos, pois atingimos
. A raiz aproximada é
(valor com mais dígitos:
).
Passo 6
Resumo das garantias e observações finais (didática curta e motivadora):
- Usei o critério
com , que é padrão e fácil de aplicar durante a prova (você pode também usar se preferir). - Em cada iteração calculei
e explicitamente e atualizei por . - As aproximações iniciais foram simples (1{,}5 e 3) e funcionaram bem — no Newton é comum começar com um ponto interno ao intervalo onde há mudança de sinal.
- Não se assuste se na prova os números parecerem chatos: faça as contas com 4–6 casas decimais quando necessário, e pare quando a diferença entre iterações for menor que
.