Defina Subgrupo e defina também Subgrupo Cíclico. Defina ordem de um elemento de um Grupo (subgrupo).

Passo 1

O enunciado pede para definirmos três conceitos básicos de teoria de grupos: subgrupo, subgrupo cíclico e ordem de um elemento de um grupo (ou subgrupo). Vamos revisar o que precisamos: saber a definição de grupo e entender como extrair de um grupo esses três objetos.

Passo 2

Em teoria de grupos, um subconjunto H de um grupo (G,ast) é chamado de subgrupo se satisfizer as seguintes condições: (1) Hneqemptyset; (2) para todo a,bin H, o produto aast b pertence a H (fechamento); (3) para todo ain H, o inverso a^-1 também pertence a H. Essas condições garantem que (H,ast) herda a estrutura de grupo de G.

Passo 3

Um subgrupo especial é o subgrupo cíclico gerado por um elemento gin G. Ele é definido como o conjunto de todas as potências inteiras de g:
lang<= grang<= = g^n : ninZ,
Mostramos que lang<= grang<= é um subgrupo de G que contém g e é o menor subgrupo com essa propriedade.

Passo 4

Dado um elemento gin G, sua ordem é o menor inteiro positivo n tal que
g^n = eG,
onde eG é o elemento identidade de G. Se não existir tal n>0, dizemos que g tem ordem infinita. A ordem de g coincide com o número de elementos do subgrupo cíclico lang<= grang<=.

Resposta

Subgrupo: um subconjunto não vazio Hsubseteq G que é fechado sob a operação e que contém inversos, ou seja, para todo a,bin H vale aast bin H e a^-1in H.
Subgrupo cíclico: para gin G, é o subgrupo gerado por g, lang<= grang<==g^n:ninZ.
Ordem de um elemento: para gin G, é o menor n>0 tal que g^n=eG; se não existir, dizemos que g tem ordem infinita.

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