Defina Subgrupo e defina também Subgrupo Cíclico. Defina ordem de um elemento de um Grupo (subgrupo).
Passo 1
O enunciado pede para definirmos três conceitos básicos de teoria de grupos: subgrupo, subgrupo cíclico e ordem de um elemento de um grupo (ou subgrupo). Vamos revisar o que precisamos: saber a definição de grupo e entender como extrair de um grupo esses três objetos.
Passo 2
Em teoria de grupos, um subconjunto
de um grupo
é chamado de subgrupo se satisfizer as seguintes condições: (1)
; (2) para todo
, o produto
pertence a
(fechamento); (3) para todo
, o inverso
também pertence a
. Essas condições garantem que
herda a estrutura de grupo de
.
Passo 3
Um subgrupo especial é o subgrupo cíclico gerado por um elemento
. Ele é definido como o conjunto de todas as potências inteiras de
:
Mostramos que
é um subgrupo de
que contém
e é o menor subgrupo com essa propriedade.
Passo 4
Dado um elemento
, sua ordem é o menor inteiro positivo
tal que
onde
é o elemento identidade de
. Se não existir tal
, dizemos que
tem ordem infinita. A ordem de
coincide com o número de elementos do subgrupo cíclico
.
Resposta
Subgrupo: um subconjunto não vazio
que é fechado sob a operação e que contém inversos, ou seja, para todo
vale
e
.
Subgrupo cíclico: para , é o subgrupo gerado por
,
.
Ordem de um elemento: para , é o menor
tal que
; se não existir, dizemos que
tem ordem infinita.
Subgrupo cíclico: para
Ordem de um elemento: para