Mostre que o conjunto das matrizes do tipo
munido da operação de multiplicação usual de matrizes é um grupo não abeliano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto das matrizes do tipo
com a operação de multiplicação usual de matrizes é um grupo não abeliano. Isso está relacionado com a álgebra linear e a teoria dos grupos. Para resolver isso, vamos verificar os quatro requisitos de um grupo e depois mostrar que a operação não é comutativa (não é abeliana).
Passo 2
Fechamento: Primeiro, precisamos verificar se o conjunto A é fechado sob a multiplicação de matrizes. Isso significa que se você pegar duas matrizes quaisquer de A e multiplicá-las, o resultado também deve estar em A.
Vamos considerar duas matrizes quaisquer de A:
Multiplicando M e N:
Observamos que a forma resultante ainda é:
com $ a’ = ac - bd $ e $ b’ = ad + bc $. Assim, o conjunto A é fechado sob multiplicação.
Passo 3
Associatividade: A operação de multiplicação de matrizes é associativa. Ou seja, para quaisquer matrizes $ M, N, P $ em A,
Isso é uma propriedade geral das matrizes e não depende do tipo específico de matrizes. Portanto, a associatividade é garantida.
Passo 4
Elemento Neutro: Precisamos encontrar uma matriz em A que funcione como o elemento neutro para a multiplicação, ou seja, uma matriz $ E $ tal que para qualquer matriz $ M $ em A,
A matriz identidade é:
Vamos verificar se $ E $ pertence a A. Para isso, checamos se $ a^{2} + b^{2} \neq 1 $.
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = 0 $, então $ 1^{2} + 0^{2} = 1 $, o que não satisfaz a condição $ a^{2} + b^{2} \neq 1 $. Portanto, a matriz identidade não está em A.
Isso significa que o conjunto A não possui elemento neutro, então A não é um grupo.
Passo 5
Conclusão: Como já mostramos que a matriz identidade, que é crucial para a estrutura de um grupo, não está em A, concluímos que o conjunto A não forma um grupo sob a multiplicação usual de matrizes. Portanto, não podemos falar em A ser um grupo não abeliano, já que nem sequer satisfaz os critérios básicos para ser um grupo.
Resposta
O conjunto A não forma um grupo sob a multiplicação usual de matrizes porque não possui um elemento neutro dentro de A. Assim, não podemos afirmar que A é um grupo não abeliano.