Determine o subgrupo cíclico gerado por sigma, onde sigma é o elemento de S4 dado por:

Passo 1

A questão pede para determinar o subgrupo cíclico gerado por sigma em S4. O conteúdo envolvido é permutações e notação de ciclos, e vamos precisar expressar sigma em notação cíclica e calcular suas potências para listar todos os elementos gerados.

Passo 2

Para escrever sigma em notação de ciclos, rastreio onde cada elemento vai:
1to3to4to2to1, o que dá
sigma=(1;3;4;2)

Passo 3

Agora calculo as potências de sigma:
sigma^2 aplica sigma duas vezes:
1to3to4 e 4to2to1, e 2to1to3, 3to4to2, o que resulta
sigma^2=(1;4)(2;3)

Passo 4

sigma^3 é sigma^2 seguido de sigma, que equivale ao inverso de sigma:
sigma^3=(1;2;4;3)

Passo 5

E sigma^4 é a identidade, pois o ciclo de comprimento 4 tem ordem 4.
O subgrupo cíclico gerado por sigma é então
lang<=sigmarang<==e,,sigma,,sigma^2,,sigma^3=e,,(1;3;4;2),,(1;4)(2;3),,(1;2;4;3)

Resposta

lang<=sigmarang<==e,,(1;3;4;2),,(1;4)(2;3),,(1;2;4;3)

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