1. (a) Defina todos os vetores tal que
(b) Explique por que não há nenhum vetor tal que

Passo 1

O enunciado pede (a) todos os vetores v em R^3 tais que
lang<= 1,2,1rang<= times v = lang<= 3,1,-5rang<=
e (b) explicar por que não existe v satisfazendo
lang<= 1,2,1rang<= times v = lang<= 3,1,5rang<=
O conteúdo aqui é produto vetorial e suas propriedades: para resolver (a) montamos um sistema linear a partir da definição de atimesv e, para (b), usamos a condição de ortogonalidade que todo produto vetorial satisfaz.

Passo 2

Seja v=(x,y,z). Calculamos
lang<= 1,2,1rang<= times lang<= x,y,zrang<= = l(2z - y,; x - z,; y - 2xr)

Passo 3

Igualando à lang<= 3,1,-5rang<= obtemos o sistema
2z - y = 3, x - z = 1, y - 2x = -5

Passo 4

Da primeira equação vem y = 2z - 3.
Da segunda, x = z + 1.
Substituindo em y - 2x = -5:
(2z - 3) - 2(z + 1) = -5 Longrightarrow -5 = -5,
que é sempre verdade. Isso mostra que temos um grau de liberdade; tomamos z = t como parâmetro.

Passo 5

Logo
x = t + 1, y = 2t - 3, z = t,
ou seja, em forma vetorial,
v = l(1,-3,0r) + t,l(1,2,1r), tinR

Passo 6

Para (b), note que qualquer produto vetorial atimesv é ortogonal a a. Se existisse v tal que
lang<= 1,2,1rang<= times v = lang<= 3,1,5rang<=, então
lang<= 1,2,1rang<= cdot lang<= 3,1,5rang<= = 1cdot3 + 2cdot1 + 1cdot5 = 10 neq 0,
o que contradiz a ortogonalidade. Logo não há solução.

Resposta

(a) v = (1,-3,0) + t,(1,2,1), tinR
(b) Não existe, pois lang<=1,2,1rang<=cdotlang<=3,1,5rang<=neq0.

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