1. Utilize o produto misto para mostrar que os vetores u=i+5 j-2 k, v=3 i-j e w =5 i+9 j-4 k são coplanares.
  2. Use o produto misto para determinar se os pontos A(1,3,2), B(3,-1,6), C(5,2,0) e D(3,6,-4) pertencem ao mesmo plano.

Passo 1

O enunciado pede para usar o produto misto (ou triplo escalar)
acdot( btimes c)
para verificar coplanaridade. Lembrando que três vetores são coplanares se e só se esse produto misto for zero. No item 37 aplicaremos isso diretamente aos vetores u, v, w. No item 38 formaremos os vetores AB,AC,AD e faremos o mesmo teste para saber se os quatro pontos estão num mesmo plano.

Passo 2

Item 37: calculemos primeiro vtimes w com
v=(3,-1,0) e w=(5,9,-4).
vtimes w = i & j & k 3 & -1 & 0 5 & 9 & -4 =4, i+12, j+32, k
Em seguida, computamos o produto escalar com u=(1,5,-2):
ucdot( vtimes w) =1cdot4+5cdot12+(-2)cdot32=4+60-64=0

Passo 3

Como ucdot( vtimes w)=0, concluímos que u, v, w são coplanares.

Passo 4

Item 38: definimos
AB=(2,-4,4), AC=(4,-1,-2), AD=(2,3,-6),
obtidos subtraindo as coordenadas de A(1,3,2) dos pontos B,C,D.
Calculemos ACtimesAD:
ACtimesAD = i & j & k 4 & -1 & -2 2 & 3 & -6 =12, i+20, j+14, k
Agora o produto escalar com AB:
ABcdot(ACtimesAD) =2cdot12+(-4)cdot20+4cdot14=24-80+56=0

Passo 5

Como
ABcdot(ACtimesAD)=0, os vetores AB,AC,AD são coplanares, logo os pontos A,B,C,D pertencem ao mesmo plano.

Resposta

  1. Os vetores são coplanares porque ucdot( vtimes w)=0.
  2. Sim, os pontos A,B,C,D são coplanares pois
    ABcdot(ACtimesAD)=0.

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