Demonstrar o algoritmo da divisão quando o divisor d é negativo.
Que nesse caso o resto r satisfaz 0 <= r<|d|.

Passo 1

O objetivo é provar que, para quaisquer inteiros a e dneq0 (inclusive d<0), existem únicos inteiros q e r tais que
a = d,q + r
com
0 <= r < |d|,
Já conhecemos o algoritmo de divisão quando d>0. Vamos estendê-lo ao caso d<0.

Passo 2

(Prova da existência)
Suponha d<0. Defina
d' = -d > 0
Pelo algoritmo de divisão para divisor positivo, existem inteiros q' e r com
a = d',q' + r e 0 <= r < d'
Como d = -d', basta tomar
q = -,q'
para obter
d,q + r = (-d')(-q') + r = d',q' + r = a
e ainda
0 <= r < d' = |d|
Logo, existe pelo menos um par (q,r) satisfazendo as condições desejadas.

Passo 3

(Prova da unicidade)
Suponha que (q,r) e (tilde q,tilde r) sejam dois pares que satisfazem
a = d,q + r e a = d,tilde q + tilde r
com 0<= r,tilde r<|d|. Subtraindo as igualdades:
d,(q-tilde q) = tilde r - r
Como d<0, temos |d|=-d. Podendo multiplicar ambos os lados por -1 se for preciso, chegamos a
|d|,|q-tilde q| = |r-tilde r|
Mas |r-tilde r|<|d| porque 0<= r,tilde r<|d|. Logo
|q-tilde q| < 1,
o que só é possível se q-tilde q=0, ou seja, q=tilde q. Daí tilde r-r=0, ou seja, r=tilde r. Assim a escrita é única.

Resposta

Para qualquer inteiro a e qualquer divisor d<0, existe um único par de inteiros (q,r) tal que
a = d,q + r e 0 <= r < |d|

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