Demonstrar o algoritmo da divisão quando o divisor
é negativo.
Que nesse caso o resto
satisfaz
.
Passo 1
O objetivo é provar que, para quaisquer inteiros
e
(inclusive
), existem únicos inteiros
e
tais que
com
Já conhecemos o algoritmo de divisão quando
. Vamos estendê-lo ao caso
.
Passo 2
(Prova da existência)
Suponha . Defina
Suponha
Pelo algoritmo de divisão para divisor positivo, existem inteiros
e
com
Como
, basta tomar
para obter
e ainda
Logo, existe pelo menos um par
satisfazendo as condições desejadas.
Passo 3
(Prova da unicidade)
Suponha que e
sejam dois pares que satisfazem
Suponha que
com
. Subtraindo as igualdades:
Como
, temos
. Podendo multiplicar ambos os lados por
se for preciso, chegamos a
Mas
porque
. Logo
o que só é possível se
, ou seja,
. Daí
, ou seja,
. Assim a escrita é única.
Resposta
Para qualquer inteiro
e qualquer divisor
, existe um único par de inteiros
tal que