Encontre, se existirem, pontos na superfície dada com a propriedade indicada:
em
, com reta normal paralela ao plano
;
em
Passo 1
O enunciado pede pontos na superfície definida por
tais que a reta normal em cada ponto seja paralela ao plano
. O conteúdo é cálculo vetorial (gradiente e retas normais) e vamos precisar: definir o gradiente de
, usar a condição de paralelismo de reta a um plano e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Para uma superfície
, o vetor normal em cada ponto é dado por
. Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
A reta normal é paralela ao plano
se seu vetor diretor (que é o vetor normal
) for paralelo ao plano
. Um vetor
é paralelo ao plano
quando ele é ortogonal ao vetor normal do plano
, que é
. Logo impomos:
Passo 4
Da condição
segue
Passo 5
Agora devemos também satisfazer a equação da superfície. Substituindo
em
:
Passo 6
Portanto os pontos procurados satisfazem simultaneamente
Passo 7
Em forma paramétrica, para
, temos duas retas de soluções:
Resposta
Os pontos da superfície cuja reta normal é paralela ao plano
são todos os que satisfazem
e
, ou seja, as retas paramétricas
e
,
.