Encontre, se existirem, pontos na superfície dada com a propriedade indicada:
em (y+z)^2+(z-x)^2-16=0, com reta normal paralela ao plano yz;

Passo 1

O enunciado pede pontos na superfície definida por F(x,y,z) = (y+z)^2 + (z-x)^2 - 16 = 0 tais que a reta normal em cada ponto seja paralela ao plano yz. O conteúdo é cálculo vetorial (gradiente e retas normais) e vamos precisar: definir o gradiente de F, usar a condição de paralelismo de reta a um plano e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Para uma superfície F(x,y,z)=0, o vetor normal em cada ponto é dado por nabla F = (partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial z). Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x = -2(z - x), partial Fpartial y = 2(y + z), partial Fpartial z = 2(y + z) + 2(z - x)

Passo 3

A reta normal é paralela ao plano yz se seu vetor diretor (que é o vetor normal nabla F) for paralelo ao plano yz. Um vetor (a,b,c) é paralelo ao plano yz quando ele é ortogonal ao vetor normal do plano yz, que é (1,0,0). Logo impomos:
nabla Fcdot(1,0,0) = 0 implies partial Fpartial x = 0

Passo 4

Da condição partial Fpartial x = -2(z-x) = 0 segue
z - x = 0 implies z = x

Passo 5

Agora devemos também satisfazer a equação da superfície. Substituindo z=x em F=0:
(y + z)^2 + (z - x)^2 - 16 = (y + x)^2 + 0^2 - 16 = 0 implies (y + x)^2 = 16 implies y + x = pm 4

Passo 6

Portanto os pontos procurados satisfazem simultaneamente
z = x, y + x = 4ou y + x = -4

Passo 7

Em forma paramétrica, para t in R, temos duas retas de soluções:
(x,y,z) = (t,4 - t, t)e(x,y,z) = (t,-4 - t, t)

Resposta

Os pontos da superfície cuja reta normal é paralela ao plano yz são todos os que satisfazem z=x e y+x=pm4, ou seja, as retas paramétricas (t,4-t,t) e (t,-4-t,t), tinR.

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