Mostre que toda reta normal à esfera x^2+y^2+z^2=a^2, passa pela origem;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em qualquer ponto P=(x₀,y₀,z₀) da esfera x²+y²+z²=a², a reta normal à superfície naquele ponto passa obrigatoriamente pela origem. O conteúdo envolvido é o de geometria analítica de superfícies, usando o gradiente para obter a direção normal e depois a equação paramétrica da reta.

Passo 2

Para a superfície F(x,y,z)=x²+y²+z²−a², o vetor gradiente em P é ∇F§= (2x₀,2y₀,2z₀). Esse vetor aponta na direção normal à esfera em P. Logo, uma reta normal pode ser escrita pela equação paramétrica
$$r(t)=\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr)+t,\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr).
$$

Passo 3

Basta escolher t=−1 na equação paramétrica para ver que
$$r(-1)=\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr)−\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr)=(0,0,0),
$$ou seja, em t=−1 a reta atinge a origem. Portanto, qualquer reta normal à esfera passa pela origem.

Resposta

Qualquer reta normal à esfera x²+y²+z²=a² passa pela origem.

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