Mostre que toda reta normal à esfera
, passa pela origem;
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em qualquer ponto P=(x₀,y₀,z₀) da esfera x²+y²+z²=a², a reta normal à superfície naquele ponto passa obrigatoriamente pela origem. O conteúdo envolvido é o de geometria analítica de superfícies, usando o gradiente para obter a direção normal e depois a equação paramétrica da reta.
Passo 2
Para a superfície F(x,y,z)=x²+y²+z²−a², o vetor gradiente em P é ∇F§= (2x₀,2y₀,2z₀). Esse vetor aponta na direção normal à esfera em P. Logo, uma reta normal pode ser escrita pela equação paramétrica
$$r(t)=\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr)+t,\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr).
$$
Passo 3
Basta escolher t=−1 na equação paramétrica para ver que
$$r(-1)=\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr)−\bigl(x₀,y₀,z₀\bigr)=(0,0,0),
$$ou seja, em t=−1 a reta atinge a origem. Portanto, qualquer reta normal à esfera passa pela origem.
Resposta
Qualquer reta normal à esfera x²+y²+z²=a² passa pela origem.