a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 \mathrm{z}, \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+2 y, 3 y-z, x-y+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(2 \mathrm{r}, \theta), onde ( \mathrm{r}, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir \emph{transformação linear} e \emph{núcleo} de uma transformação linear.
  • (b) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\\ \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2\mathrm{x}-\mathrm{y}+3\mathrm{z},\\ \mathrm{x}+4\mathrm{y}-2\mathrm{z}) é linear.
  • (c) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\\ \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x+2y,\\\ 3y-z,\\ x-y+4z) é linear.
  • (d) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\\ \mathrm{T}(r,\theta)=(2r,\theta) (onde (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y) e \mathrm{T}(0)=0) é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e posto (ordem) e dizer se é bijetora.
Informações relevantes dadas:
  • Em (b) o enunciado escreve domínio \mathbb{R}^{2} mas usa a tripla (x,y,z). Vou listar isso tal como foi dado e depois, na resolução, vou interpretar corretamente para verificar linearidade (ou seja, assumirei que a intenção foi uma aplicação de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2} quando necessário).
  • Em (d) a transformação é descrita em coordenadas polares; foi dada a convenção \mathrm{T}(0)=0.

Passo 2

Definição de transformação linear e núcleo — conceito e como testar (aquilo que o professor espera que você saiba e aplique).
  • Definição de transformação linear: Uma aplicação \mathrm{T}:V\to W entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, vale
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)
e
\mathrm{T}(c\,u)=c\,\mathrm{T}(u).
Essas duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são a essência da linearidade. Uma alternativa prática: se existir uma matriz A tal que \mathrm{T}(x)=A x para todo x (com coordenadas na base canônica), então \mathrm{T} é linear.
  • Núcleo ( \ker\mathrm{T}) de uma transformação linear: é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio. Formalmente,
\ker\mathrm{T}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=0\}.
Propriedades importantes: \ker\mathrm{T} é subespaço do domínio; sua dimensão é chamada de nulidade (\dim\ker\mathrm{T}). Pelo teorema da dimensão (teorema da posto-nulidade) para transformações lineares entre espaços de dimensão finita:
\dim V = \operatorname{nulidade}(\mathrm{T}) + \operatorname{posto}(\mathrm{T}).
Onde o posto é a dimensão da imagem \mathrm{Im}\,\mathrm{T}.
  • Como testar praticame nte em exercícios: escrever a transformação por matrizes (se possível) ou verificar aditividade e homogeneidade com exemplos e/ou igualdade algébrica geral.

Passo 3

Verificação de (b). Primeiro, remarco a inconsistência observada no enunciado: o item (b) afirma domínio \mathbb{R}^{2} mas usa coordenadas (x,y,z). Vou assumir que a intenção foi uma transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por
\mathrm{T}(x,y,z)=(2x-y+3z,\\ x+4y-2z).
Explicação didática: sempre que a fórmula de \mathrm{T} é composta por combinações lineares das coordenadas (somatórias de termos escalares vezes x,y,z), é um forte indício de que \mathrm{T} é da forma matriz vezes vetor. Vou escrever a matriz correspondente e usar a propriedade matriz–vetor para concluir linearidade.
  • A matriz associada (na base canônica) é
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 4 & -2\end{pmatrix}.
  • Para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{3} e escalar c, se representarmos u,v como vetores-coluna então
\mathrm{T}(u)=A u,\qquad \mathrm{T}(v)=A v.
Logo
\mathrm{T}(u+v)=A(u+v)=Au+Av=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)
e
\mathrm{T}(c u)=A(cu)=c(Au)=c\,\mathrm{T}(u).
  • Conclusão para (b): a expressão fornecida é exatamente uma multiplicação por matriz linear, portanto (assumindo domínio \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}) \mathrm{T} é linear. Se alguém insistisse na versão literal com domínio \mathbb{R}^{2} e três coordenadas dadas, aí haveria um erro de formulação do enunciado — por isso adotei a interpretação consistente.]

Passo 4

Verificação de (c). A transformação é
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\\\ 3y-z,\\ x-y+4z).
  • Escrevendo a matriz na base canônica:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 4 \end{pmatrix},
de modo que \mathrm{T}(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
  • Como no item (b), a presença desta multiplicação por matriz garante linearidade: multiplicação por matriz satisfaz aditividade e homogeneidade. Para deixar clara a verificação direta, se u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2),
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(x_1+x_2,\\ y_1+y_2,\\ z_1+z_2)
produz componente a componente exatamente igual à soma de \mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) (faça a conta se quiser checar linha a linha). E homogeneidade é análoga. Portanto \mathrm{T} é linear.]

Passo 5

Verificação de (d). A transformação é dada em coordenadas polares por
\mathrm{T}(r,\theta)=(2r,\theta),
com a observação \mathrm{T}(0)=0.
  • Quero traduzir isso para coordenadas cartesianas (x,y). Recorde que relações entre coordenadas são
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Se \mathrm{T} transforma (r,\theta) em (2r,\theta), então o vetor imagem em coordenadas cartesianas é
(2r\cos\theta,\\\ 2r\sin\theta)=(2x,\\\ 2y).
  • Portanto, na forma usual em \mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(x,y)=(2x,2y). Esta é a aplicação "multiplicação por escalar 2" ou seja \mathrm{T}=2\mathrm{Id}.
  • Verificação de linearidade: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^{2} e c\in\mathbb{R},
\mathrm{T}(u+v)=2(u+v)=2u+2v=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)
e
\mathrm{T}(c u)=2(cu)=c(2u)=c\,\mathrm{T}(u).
  • Observação sobre \mathrm{T}(0)=0: consistente com linearidade. Portanto \mathrm{T} dada em (d) é linear.

Passo 6

Resumo até aqui (pedacinho de motivação): alegre-se — todos os itens (assumindo interpretação coerente no (b)) são transformações lineares porque cada um é dada por combinações lineares das coordenadas (ou por multiplicação por escalar no caso (d)). Agora faço a parte (e): escolho uma das transformações lineares para detalhar núcleo, imagem, nulidade e posto. Vou escolher a transformação do item (c), pois é quadrada ([\mathbb{R}{3}\to\mathbb{R}{3})) e dá uma boa prática para ver bijetividade.
Relembrando \mathrm{T} de (c) e sua matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 4 \end{pmatrix},
e \mathrm{T}(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
  • Núcleo: resolver \mathrm{T}(x,y,z)=0, ou seja A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Escrevendo as equações:
\begin{cases} x+2y+0\cdot z=0,\\[4pt] 0\cdot x+3y-z=0,\\[4pt] x-y+4z=0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos \displaystyle x=-2y\]. Da segunda obtemos \(\displaystyle z=3y. Substituindo essas expressões na terceira equação:
(-2y)-y+4(3y)= -3y +12y =9y =0,
logo y=0. Então x=-2\cdot 0=0 e z=3\cdot 0=0. Conclusão:
\ker\mathrm{T}=\{(0,0,0)\}.
Isso significa que a nulidade (dimensão do núcleo) é
\operatorname{nulidade}(\mathrm{T})=0.
  • Posto e imagem: pelo teorema da dimensão para transformações lineares entre espaços de dimensão finita,
\dim(\mathbb{R}^{3})=3=\operatorname{nulidade}(\mathrm{T})+\operatorname{posto}(\mathrm{T}).
Como a nulidade é 0, segue que \operatorname{posto}(\mathrm{T})=3. Assim a imagem tem dimensão 3; como a imagem é subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 3, a imagem é todo \mathbb{R}^{3}:
\mathrm{Im}\,\mathrm{T}=\mathbb{R}^{3}.
  • Verificação alternativa (determinante): para dar mais intuição, podemos calcular \det A para confirmar que A é invertível. Calcule:
\det A = 1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
A primeira determinante é 3\cdot 4 - (-1)(-1)=12-1=11. A segunda determinante é 0\cdot 4 -(-1)\cdot 1=1. Logo
\det A = 1\cdot 11 - 2\cdot 1 = 9\neq 0,
o que confirma que A é invertível, portanto \operatorname{posto}(A)=3 e \ker A=\{0\}.
  • Bijetividade: uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é bijetora se e somente se seu núcleo é \{0\} (ou equivalentemente se seu posto é a dimensão do espaço). Portanto \mathrm{T} do item (c) é bijetora (injetora e sobrejetora). Também existe uma matriz inversa A^{-1}.]

Passo 7

Pequeno resumo pedagógico final (motivação para a prova): para checar se uma transformação é linear, identifique se as coordenadas da imagem são combinações lineares das coordenadas de entrada. Se sim, escreva a matriz e use a propriedade T(u+v)=Au+Av e T(cu)=cAu. Para calcular núcleo, resolva Ax=0; para imagem, observe as colunas de A e calcule o posto (por eliminação, por determinante se quadrada, ou por redução de linhas).

Resposta

(a) Uma aplicação \mathrm{T}:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e todo escalar c\in\mathbb{R}, \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) e \mathrm{T}(cu)=c\,\mathrm{T}(u). O núcleo de \mathrm{T} é \ker\mathrm{T}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=0\}.
(b) Admitindo a interpretação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(2x-y+3z,\\ x+4y-2z), então \mathrm{T} é linear.
(c) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\\ \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\\\ 3y-z,\\ x-y+4z) é linear.
(d) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\\ \mathrm{T}(r,\theta)=(2r,\theta) (com \mathrm{T}(0)=0) corresponde a \mathrm{T}(x,y)=(2x,2y) em coordenadas cartesianas, portanto é linear.
(e) Para a transformação escolhida (item (c)):
\ker\mathrm{T}=\{(0,0,0)\}
\mathrm{Im}\,\mathrm{T}=\mathbb{R}^{3}
\operatorname{nulidade}(\mathrm{T})=0
\operatorname{posto}(\mathrm{T})=3
A transformação é bijetora.

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