a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+4 \mathrm{z}, 2 \mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x-y+2 y, x+4 y, y-5 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{2}, \theta\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas:
(a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+4\mathrm{z},\,2\mathrm{y}-\mathrm{z}) é linear. (Observação: o enunciado escreveu \mathbb{R}^2 mas forneceu três coordenadas (x,y,z); vou considerar que o domínio correto é \mathbb{R}^3.)
(c) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(3x-y+2y,\,x+4y,\,y-5z) é linear.
(d) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(r,\theta)=(r^{2},\theta) (onde (r,\theta) são as coordenadas polares de (x,y) e \mathrm{T}(0)=0) é linear.
(e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Perguntar também se essa transformação é bijetora.
Informações fornecidas:
Em (b) os componentes dependem de x,y,z.
Em (c) o primeiro componente tem 3x-y+2y que pode ser simplificado.
Em (d) a transformação é dada em coordenadas polares; é importante lembrar a relação entre coordenadas cartesianas e polares: \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 2
Definição didática e exemplos curtos.
Transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais (aqui entre \mathbb{R}^{n} e \mathbb{R}^{m}) é linear se ela preserva somas e multiplicações por escalares. Formalmente, T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^{n} e todo escalar \alpha\in\mathbb{R},
Explicando as letras: u,v são vetores do domínio, \alpha é um número real. Na prática, isso significa que T pode ser representada por multiplicação por uma matriz A (ou seja, T(v)=A v) se estivermos usando coordenadas padrão.
Núcleo (kernel): o núcleo de T é o conjunto de todos os vetores do domínio que são levados ao vetor zero no contradomínio. Em símbolos,
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^{n}\mid T(v)=0\}.
Intuição: são os vetores que “desaparecem” pela transformação. A nulidade é a dimensão do núcleo.
Exemplo rápido: a transformação S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, S(x,y)=(2x,3y) é linear porque cada componente é combinação linear de x,y; seu núcleo é \{(0,0)\} se nenhum componente impõe relação não-trivial, etc.
Passo 3
Análise de (b). Primeiro corrijo domínio: considero \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+4z,\;2y-z).
Mostro que é linear:
Cada componente é combinação linear das coordenadas x,y,z sem termos constantes. Posso escrever T como multiplicação por uma matriz A de tamanho 2\times 3:
Multiplicação por matriz preserva soma e multiplicação escalar, logo T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Portanto, T é linear.
Dica prática para prova: sempre que você consegue escrever T(v) como A v (matriz vezes vetor), não precisa checar propriedades uma a uma; está garantido que é linear.]
Passo 4
Análise de (c). Primeiro simplifico a expressão do enunciado:
3x - y + 2y = 3x + y,
então a transformação é
T(x,y,z)=(3x+y,\;x+4y,\;y-5z).
Escrevo a matriz associada (usando base canônica):
Como é dada por multiplicação por matriz (sem termos constantes), T é linear. Se o professor pedir, você pode mostrar diretamente que T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v) usando entradas, mas a escrita matricial é mais limpa e suficiente.]
Passo 5
Análise de (d). Transformação dada em polares:
Dado um vetor v=(x,y), suas coordenadas polares são (r,\theta) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta.
A regra T(r,\theta)=(r^{2},\theta) significa que o vetor imagem em coordenadas cartesianas é
T(x,y)=(r^{2}\cos\theta,\;r^{2}\sin\theta).
Usando x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta obtemos
T(x,y)=(r x,\; r y)=r\,(x,y)=\| (x,y)\| \cdot (x,y).
Ou seja, T(v)=\|v\|\, v. Esse fator \|v\| depende do vetor, então T NÃO é linear em geral. Exemplo explícito que mostra a falha da propriedade de homogeneidade:
Tome v=(1,0). Então \|v\|=1, T(v)=(1,0).
Multiplique por \alpha=2: 2v=(2,0) tem norma 2, então T(2v)=\|2v\|\,2v=2\cdot(2,0)=(4,0).
Mas 2T(v)=2\cdot(1,0)=(2,0)\neq(4,0). Portanto T(2v)\neq 2T(v) e T não é linear.
Observação: o fato de T(0)=0 não garante linearidade; é condição necessária mas não suficiente.
Passo 6
Resolução da parte (e): escolho a transformação de (c) para analisar porque é uma transformação entre \mathbb{R}^{3}\) e \(\mathbb{R}^{3}\) (é conveniente para discutir bijetividade). Relembrando:
\[T(x,y,z)=(3x+y,\;x+4y,\;y-5z), \qquad A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Núcleo: resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0, ou seja o sistema linear
Da primeira equação y=-3x\].
- Substituo na segunda: \(x+4(-3x)=x-12x=-11x=0\Rightarrow x=0.
- Com x=0 segue y=-3\cdot 0=0.
- Da terceira equação y-5z=0\Rightarrow 0-5z=0\Rightarrow z=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Assim
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
A nulidade (dimensão do núcleo) é
\dim(\ker T)=0.
Imagem e posto (ordem): como o núcleo é trivial e o domínio tem dimensão 3, pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity)
Um posto 3 em uma transformação \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} significa que a imagem é todo \mathbb{R}^{3}:
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
Também podemos confirmar calculando o determinante da matriz A:
\det A = -5\cdot(3\cdot4-1\cdot1)=-5\cdot(12-1)=-5\cdot11=-55\neq 0,
o que confirma que A é inversível, posto 3 e núcleo trivial.
Bijetividade: como T é linear com posto máximo 3 (plena dimensionalidade do contradomínio), T é sobrejetora. Núcleo trivial implica injetora. Logo T é bijetora (invertível).]
Resposta
(a) Transformação linear: T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^{n} e \alpha\in\mathbb{R}, T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^{n}\mid T(v)=0\}.
(b) Linear (considerando domínio \mathbb{R}^{3}); matriz \begin{pmatrix}1&0&4\\[4pt]0&2&-1\end{pmatrix}.
(c) Linear; simplificado T(x,y,z)=(3x+y,\;x+4y,\;y-5z) com matriz \begin{pmatrix}3&1&0\\[4pt]1&4&0\\[4pt]0&1&-5\end{pmatrix}.
(d) Não é linear (de fato T(x,y)=\| (x,y)\| (x,y), falha homogeneidade: T(2v)\neq 2T(v) em geral).
(e) Para T de (c): \ker(T)=\{(0,0,0)\}; \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}; nulidade =0; ordem (posto) =3; é bijetora.]