a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x+y-z, x-y+2 z, 4 x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(\mathrm{r}, 3 \theta), onde ( \mathrm{r}, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir transformação linear e núcleo de transformação linear.
  • (b) Verificar se \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+2\mathrm{y}-\mathrm{z},\;3\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}) é linear.
  • (c) Verificar se \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2x+y-z,\;x-y+2z,\;4x+z) é linear.
  • (d) Verificar se \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; \mathrm{T}(r,\theta)=(r,3\theta) (coordenadas polares de (x,y)), com T(0)=0, é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto) e dizer se é bijetora.
Informações relevantes dadas:
  • As fórmulas explícitas de cada \mathrm{T} (veja acima).
  • Observação: em (b) a notação diz \mathbb{R}^2 como domínio, mas a fórmula usa três variáveis (x,y,z). Vou assumir que isso é um pequeno erro de digitação no enunciado e que o domínio correto em (b) é \mathbb{R}^3 (assim a transformação vai de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2). Se você souber que o enunciado original dizia outra coisa, deveria ter sido indicado; aqui sigo essa interpretação para poder resolver.

Passo 2

Definições pedidas em (a), explicadas devagarinho.
  • Definição de transformação linear: \text{Uma transformação }T: V\to W\text{ entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer }u,v\in V\text{ e qualquer escalar }c\in\mathbb{R},çãçé
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
O que isso quer dizer com linguagem simples: T preserva soma de vetores e multiplicação por escalares. Em coordenadas, se as componentes de T são combinações lineares das coordenadas de entrada (isto é, cada componente é soma de termos do tipo constante vezes uma coordenada), então T é linear — isso é o mesmo que dizer que T pode ser representada por uma multiplicação por matriz.
  • Definição de núcleo (kernel): \ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.Intuição: núcleo é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero. É sempre um subespaço de V. A nulidade (nullity) é a dimensão de \ker(T). A imagem (ou posto/column space) de T é \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\},e o posto (rank) é a dimensão de \operatorname{Im}(T). Lembrar do teorema da dimensão: para T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, \dim(\ker T)+\operatorname{rank}(T)=n.Vou usar essas definições para analisar cada caso.

Passo 3

Critério prático que vou usar para (b) e (c): se cada componente de T é uma combinação linear das coordenadas de entrada (sem termos constantes independentes de x,y,z), então T é linear — equivalently, existe uma matriz A tal que T(v)=A v. Para provar não linearidade em (d) é suficiente dar um contraexemplo que mostre que alguma das propriedades (adição ou homogeneidade) falha.

Passo 4

Análise da transformação (b). (Lembrete: estou assumindo domínio \mathbb{R}^3 e contradomínio \mathbb{R}^2.)
  • A transformação é dada por T(x,y,z) = (x+2y-z,\;3x-y+z).Cada componente é soma de coeficientes vezes x,y,z (não há termo constante isolado). Logo existe uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times 3} tal que T(v)=A v. Escrevendo a matriz: A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix},e para v=(x,y,z)^T temos T(v)=A v. Como T é dada por multiplicação por matriz, ela satisfaz aditividade e homogeneidade automaticamente. Portanto, \mathrm{T} em (b) é linear.
  • Observação didática: verificar diretamente as propriedades daria algo como T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v) e T(cu)=A(cu)=c(Au)=cT(u). Isso é o cerne de por que multiplicação por matrizes define transformações lineares.]

Passo 5

Análise da transformação (c).
  • A transformação é T(x,y,z)=(2x+y-z,\;x-y+2z,\;4x+0y+z).Podemos escrever a matriz A\in\mathbb{R}^{3\times 3}: A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 4 & 0 & 1 \end{pmatrix},e então T(v)=A v para v=(x,y,z)^T. Porque é multiplicação por matriz (componentes são combinações lineares), T é linear.]

Passo 6

Análise da transformação (d). Vou mostrar com um contraexemplo que T não é linear.
  • A definição: para um vetor em coordenadas polares (r,\theta), o mapeamento produz (r,3\theta); o vetor nulo é tratado como T(0)=0.
  • Escolho vetores fáceis em coordenadas cartesianas: v_1=(1,0) e v_2=(0,1).
    • v_1 em polares é (r,\theta)=(1,0). Então T(v_1)=(1,0)\quad\text{(em polares)}\Rightarrow T(v_1)\text{ em Cartesianas }=(1,0).
    • v_2 em polares é (1,\pi/2). Então T(v_2)=(1,3\pi/2)\quad\text{(em polares)}\Rightarrow T(v_2)\text{ em Cartesianas }=(1\cos(3\pi/2),\;1\sin(3\pi/2))=(0,-1).
    • Soma dos imagens: T(v_1)+T(v_2)=(1,0)+(0,-1)=(1,-1).
    • Agora v_1+v_2=(1,1). Em coordenadas polares, v_1+v_2 tem r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},\qquad \theta=\pi/4.Então T(v_1+v_2)=(\sqrt{2},3\pi/4).Transformando para cartesianas: T(v_1+v_2)=\big(\sqrt{2}\cos(3\pi/4),\;\sqrt{2}\sin(3\pi/4)\big).Usando \cos(3\pi/4)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(3\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos T(v_1+v_2)=\big(\sqrt{2}\cdot(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\;\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=(-1,1).
    • Comparando: T(v_1+v_2)=(-1,1)\neq (1,-1)=T(v_1)+T(v_2).
    • Conclusão: aditividade falha, logo T não é linear.
  • Intuição didática: na transformação polar a componente angular é transformada de forma não-linear (multiplicando \theta por 3 altera a direção de forma não linear em relação à soma vetorial em coordenadas cartesianas). Por isso não dá para representar T por uma matriz linear em coordenadas cartesianas.

Passo 7

Resolvendo (e): escolho a transformação (c) (porque é quadrada e permite discutir kernel, imagem, nulidade e ordem claramente).
  • Matriz associada (já escrita): A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Vou calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq 0, então A é invertível, o núcleo é \{0\} e a imagem é todo \mathbb{R}^3.
    Cálculo do determinante (expansão pela primeira linha): \det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]4 & 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]4 & 0\end{pmatrix}.Agora cada menor: \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot 1 - 0\cdot 2 = -1,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]4 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - 2\cdot 4 = 1-8=-7,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]4 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - (-1)\cdot 4 = 4.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot(-1) - 1\cdot(-7) + (-1)\cdot 4 = -2 +7 -4 =1.
Portanto \det(A)=1\neq 0.
  • Consequências:
    • Como \det(A)\neq 0, a única solução de A v=0 é v=0. Logo \ker(T)=\{0\}.
    • A imagem \operatorname{Im}(T) é todo \mathbb{R}^3 (as colunas de A geram \mathbb{R}^3), então \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
    • Nulidade (dimension of kernel) é \dim(\ker T)=0.
    • Ordem / posto (rank) é \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im} T)=3.
    • Bijectividade: como T é linear entre espaços de mesma dimensão e é injetora (kernel trivial), ela é também sobrejetora; equivalently \det(A)\neq0 implica inversível. Logo T é bijetora.]

Resposta

(a) Uma transformação T:V\to W é linear se para quaisquer u,v\in V e qualquer escalar c valem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u). O núcleo de T é \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.\n
(b) Linear (assumindo domínio \mathbb{R}^3); matriz associada \begin{pmatrix}1&2&-1\\[2pt]3&-1&1\end{pmatrix}.\n
(c) Linear; matriz associada \begin{pmatrix}2&1&-1\\[2pt]1&-1&2\\[2pt]4&0&1\end{pmatrix}.\n
(d) Não é linear (contraexemplo: v_1=(1,0),\;v_2=(0,1) dão T(v_1+v_2)=(-1,1)\neq T(v_1)+T(v_2)=(1,-1)).\n
(e) Para a transformação de (c): \ker(T)=\{0\}, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, nulidade =0, ordem (posto) =3. Sim, esta transformação é bijetora.]

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