a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}, 3 \mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+3 y+2 z, 4 x-y+z, 2 x+5 y)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\sqrt{r}, \frac{\theta}{2}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • (b) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z},\,3\mathrm{y}-\mathrm{z}) é linear. Observação: nesta definição há uma aparente contradição porque a notação de entrada usa três coordenadas (\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}) enquanto o domínio está indicado como \mathbb{R}^{2}. Este dado é relevante.
  • (c) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x+3y+2z,\,4x-y+z,\,2x+5y) é linear.
  • (d) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=\big(\sqrt{r},\,\theta/2\big) com \mathrm{T}(0)=0, é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (dimensão da imagem), e dizer se é bijetora.
Informações relevantes dadas:
  • As fórmulas explícitas de \mathrm{T} estão no enunciado para (b), (c) e (d).
  • Há uma inconsistência em (b) entre domínio escrito e a lista de coordenadas da entrada; isso é informação relevante a considerar antes de testar linearidade.

Passo 2

Definições e conceitos fundamentais (aula rápida, bem devagarinho):
  • Definição de transformação linear: Uma aplicação T entre espaços vetoriais (por exemplo T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m) é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^n e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades abaixo: T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\alpha u)=\alpha\,T(u)
Essas duas propriedades juntinhas dizem que T preserva combinações lineares. Outra forma prática (equivalente) de testar linearidade: T é linear se e somente se T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v) para todos u,v e escalares \alpha,\beta.
Observação prática: toda transformação dada por multiplicação por uma matriz (ou seja, T(x)=A x para alguma matriz A) é linear. Se na expressão de T aparecer uma constante independente da entrada (termo afin), ou alguma operação não linear (como \sqrt{\cdot}, produto entre coordenadas, divisão por norma, etc.), então T não é linear.
  • Núcleo (kernel) de uma transformação linear: Para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, o núcleo é o conjunto de vetores que vão para o vetor nulo em \mathbb{R}^m: \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^n \mid T(v)=0\}.O núcleo é um subespaço de \mathbb{R}^n. A nulidade (nullity) é a dimensão de \ker(T).
  • Imagem (ou alcance) de T: \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^n\}. A ordem pedida no enunciado vou interpretar como a dimensão da imagem (posto/rank).
  • Teorema fundamental (teorema da nulidade e posto): Para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.Essa conta ajuda a conferir erros.

Passo 3

Escolha do método para testar cada transformação:
  • Método prático e ensinado aqui: tentar escrever T como A\mathbf{x} (produto por matriz). Se isso for possível com coeficientes fixos, T é linear. Caso contrário, buscar um contraexemplo direto que mostre T(\alpha v)\neq \alpha T(v) ou T(u+v)\neq T(u)+T(v).
  • Vou aplicar esse método a (b), (c) e (d). Para (b) observo a inconsistência de domínio; vou interpretar que a entrada tem três coordenadas, logo o domínio correto é \mathbb{R}^3 (isto é necessário para podermos tratar a fórmula). Vou mencionar isso explicitamente.

Passo 4

Análise de (b). Interpretação: assumo que o enunciado tem uma pequena falha tipográfica e que a transformação é
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(2x-y+z,\;3y-z).
Verificação de linearidade:
  • Escrevemos T como multiplicação por uma matriz A. As componentes mostram que
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -1\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x-y+z\\[4pt]0\cdot x+3y-z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x-y+z\\\\ 3y-z\end{pmatrix}.
  • Como T é dada por T(\mathbf{v})=A\mathbf{v} com matriz A fixa, isso garante que T é linear (produto por matriz preserva soma e multiplicação escalar). Também se verifica T(0)=A0=0, como exigido para transformações lineares.
    Conclusão: sob a interpretação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 acima, (b) é linear.]

Passo 5

Análise de (c).
  • A transformação é
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z)=(x+3y+2z,\;4x-y+z,\;2x+5y).
  • Podemos escrever T(\mathbf{v})=B\mathbf{v} com
B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 4 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 5 & 0 \end{pmatrix}.
  • Novamente, é produto por matriz fixa, logo T é linear. Conclusão: (c) é linear.]

Passo 6

Análise de (d).
  • A transformação é dada em coordenadas polares: para um vetor (x,y) com coordenadas polares (r,\theta) (ou seja r=\sqrt{x^2+y^2} e \theta=\operatorname{atan2}(y,x)), define-se
T(r,\theta)=\big(\sqrt{r},\,\theta/2\big),\quad T(0)=0.
  • Observação importante: operação \sqrt{r} e divisão do ângulo por 2 são funções não-lineares das coordenadas cartesianas x,y. Para mostrar que T não é linear basta um contraexemplo simples testando multiplicação por escalar.
  • Contraexemplo: tome o vetor v=(1,0). Em coordenadas polares temos r=1 e \theta=0. Logo
T(v)=T(1,0)=(\sqrt{1},0)=(1,0).
Agora escale v por 2: 2v=(2,0). Em coordenadas polares (r,\theta)=(2,0). Logo
T(2v)=T(2,0)=(\sqrt{2},0).
Por outro lado
2\,T(v)=2\,(1,0)=(2,0).
Como (\sqrt{2},0)\neq(2,0), temos T(2v)\neq 2T(v). Portanto T não preserva multiplicação por escalar e, assim, não é linear.
Conclusão: (d) NÃO é linear.

Passo 7

Escolha para a parte (e) e justificativa do método:
  • Vou trabalhar com a transformação linear da alínea (b) (aquela que interpretei como T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com matriz A). Motivo: é mais simples de calcular núcleo, imagem, nulidade e posto, e ilustra bem os conceitos.
  • Dados: A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt]0 & 3 & -1\end{pmatrix}. Precisamos achar \ker(T), \operatorname{Im}(T), nulidade \dim(\ker(T)) e ordem/posto \dim(\operatorname{Im}(T)). Também dizer se T é bijetora.]

Passo 8

Cálculo do núcleo de T\) (solução passo a passo): - Queremos resolver \(A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0\). O sistema é \[\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\[4pt] 3y - z = 0. \end{cases}
  • Da segunda equação obtemos z=3y\]. - Substituindo na primeira: \[2x - y + 3y = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x +2y = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -y.\] - Tome \(y=t como parâmetro livre. Então x=-t e z=3t. Assim
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: o núcleo é o subespaço gerado por \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}, isto é
\ker(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 9

Cálculo da imagem e do posto (ordem):
  • A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
c_1=\begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
  • Verificamos se c_1 e c_2 são linearmente independentes: o determinante da matriz 2\times2 formada por c_1,c_2 é 2\cdot 3 - 0\cdot(-1)=6\neq0. Portanto c_1 e c_2 são independentes e já formam uma base de \mathbb{R}^2.
  • Como o espaço de chegada é \mathbb{R}^2 e encontramos duas colunas independentes, a imagem é todo \mathbb{R}^2:
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
  • O posto (rank) é a dimensão da imagem, então
\operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}(T))=2.
  • Observação de consistência: pelo teorema da nulidade e posto,
\dim(\ker(T))+\operatorname{rank}(T)=1+2=3,
que é igual ao n=3 (dimensão do domínio), então tudo confere.

Passo 10

Nulidade, ordem e bijetividade:
  • Nulidade: \dim(\ker(T))=1.
  • Ordem (interpretei como posto/dimensão da imagem): \dim(\operatorname{Im}(T))=2.
  • Bijetividade: Para uma transformação linear entre \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2 nunca pode haver bijeção (porque dimensões diferentes). Mais especificamente aqui, T é sobrejetora (imagem é \mathbb{R}^2) mas não é injetora (núcleo não é \{0\}). Então T NÃO é bijetora.

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e todo \alpha\in\mathbb{R}, vale T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Sim, (b) é linear (interpreta-se o domínio como \mathbb{R}^3); matriz associada \displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[4pt]0 & 3 & -1\end{pmatrix}.
(c) Sim, (c) é linear; matriz associada \displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\[4pt]4 & -1 & 1\\[4pt]2 & 5 & 0\end{pmatrix}.
(d) Não, (d) não é linear (contraexemplo: T(2(1,0))=(\sqrt{2},0)\neq 2T(1,0)=(2,0)).
(e) Para a transformação de (b) (isto é, T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com matriz A):
\ker(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}\right\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2
nulidade =\dim(\ker(T))=1
ordem (posto) =\dim(\operatorname{Im}(T))=2
Esta transformação NÃO é bijetora (é sobrejetora, mas não injetora).]

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