a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2 \mathrm{z}, \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+2 y, 4 y+z, 3 x-z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(3 \mathrm{r}, \frac{\theta}{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede o seguinte:
(a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{?}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-2z,\;x-y+z) é linear. (O enunciado escreveu \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} mas a expressão usa três coordenadas x,y,z; portanto vou entender que o domínio é \mathbb{R}^{3}.)
(c) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z) é linear.
(d) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(3r,\;\theta/3) (com \mathrm{T}(0)=0) é linear.
(e) Para uma das transformações lineares acima (vou escolher uma que seja linear), determinar núcleo, imagem, nulidade e posto (ordem). Dizer se é bijetora.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
As fórmulas explícitas de \mathrm{T} em (b), (c) e (d).
Observação: em (b) há três variáveis, por isso tomo domínio \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Definições pedidas (a), bem mastigadas e com exemplos simples.
Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas propriedades juntas significam que T preserva soma e multiplicação por escalar. Intuitivamente: primeiro soma depois aplica T é igual a aplicar T em cada um e somar; e multiplicar por escalar antes de aplicar T é o mesmo que multiplicar por esse escalar depois de aplicar T.
Exemplo rápido: a aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por T(x,y)=(2x-3y,\;x+y) é linear porque cada componente é uma combinação linear das coordenadas com coeficientes fixos (não há termos constantes nem produtos entre coordenadas).
Definição de núcleo (kernel): para uma transformação linear T:V\to W, o núcleo é o conjunto
\ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
É o conjunto de vetores que são enviados ao vetor zero. Propriedade útil: \ker(T) é um subespaço do domínio. A nulidade (nullity) é a dimensão de \ker(T).
Passo 3
Como testar linearidade na prática (método):
Se T é dada por componentes que são combinações lineares das coordenadas (sem termos constantes, sem produtos entre coordenadas, sem funções trigonométricas, log, etc.), então T é linear. Formalmente, isso equivale a existir uma matriz A tal que T(v)=A v para todo v.
Outra forma direta é verificar as duas propriedades T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) usando símbolos gerais; mas é suficiente e bem prático reconhecer que cada componente é uma combinação linear das coordenadas (coeficientes constantes).
Para ver que algo NÃO é linear, basta encontrar um contraexemplo, isto é, um vetor e um escalar (ou dois vetores) que violem uma das propriedades. Um contraexemplo é suficiente.
Passo 4
Verificação de (b). Vou interpretar \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com
\mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-2z,\;x-y+z).
Observação: cada componente da imagem é uma combinação linear das variáveis x,y,z com coeficientes constantes (por exemplo, primeira componente =3x+1\cdot y+(-2)z). Não há termos constantes nem produtos entre variáveis.
Logo existe uma matriz A\in M_{2\times 3}(\mathbb{R}) tal que T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, concretamente
Uma vez escrita assim, T é linear porque multiplicação de matriz por vetor satisfaz as propriedades de linearidade: A(u+v)=Au+Av e A(\alpha u)=\alpha(Au).
Conclusão: a transformação em (b) é linear.]
Passo 5
Verificação de (c). A transformação é
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z).
Cada componente é combinação linear das coordenadas com coeficientes constantes (por exemplo, primeira componente =1\cdot x +2\cdot y +0\cdot z).
Logo T é da forma T(v)=Av, o que garante linearidade pelas mesmas razões do item anterior.
Conclusão: a transformação em (c) é linear.]
Passo 6
Verificação de (d). A transformação é definida em coordenadas polares por
\mathrm{T}(r,\theta)=(3r,\;\theta/3),
com \mathrm{T}(0)=0.
Lembrete prático: escalares positivos multiplicam o raio r e deixam o ângulo \theta igual; por exemplo, 2\cdot (r,\theta)=(2r,\theta) (quando usamos multiplicação por escalar no espaço \mathbb{R}^{2} via representação polar, supondo escalar positivo).
Teste pela homogeneidade (multiplicação por escalar): tome um vetor com coordenadas polares (r,\theta) com \theta\neq 0, e escalar \alpha=2. Então
As segundas componentes são \theta/3 e 2\theta/3, que são diferentes para \theta\neq 0. Portanto a propriedade \mathrm{T}(\alpha v)=\alpha \mathrm{T}(v) é violada.
Conclusão: \mathrm{T} em (d) não é linear. (Um contraexemplo numérico simples: escolha (r,\theta)=(1,\pi/2).)
Passo 7
Resolução completa do item (e): escolho a transformação de (c) (porque é linear e mapeia \mathbb{R}^{3}\) em \(\mathbb{R}^{3}\)), isto é
\[\mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z).
Vou determinar núcleo, imagem, nulidade e posto, passo a passo.
Escrevo o sistema \mathrm{T}(x,y,z)=0 para o núcleo:
Como \det(A)=2\neq 0, a matriz é invertível e suas colunas formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}
e o posto (rank) é
\operatorname{rank}(T)=3.
Pela fórmula de Rank-Nullity para dimensão 3 temos \dim\ker(T)+\operatorname{rank}(T)=3, que aqui dá 0+3=3, consistente.
Bijetividade: como \ker(T)=\{0\} (injeção) e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3} (sobreyetividade), T é bijetora. Outra forma de ver: matriz invertível \Rightarrow transformação linear bijetora.]
Resposta
(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para quaisquer u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}, vale T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Linear (interpretação tomada: \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-2z,\;x-y+z)).
(c) Linear ( \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z) ).
(d) Não é linear (contraexemplo pela homogeneidade: \mathrm{T}(2(r,\theta))\neq 2\mathrm{T}(r,\theta) em geral; por exemplo (r,\theta)=(1,\pi/2)).
(e) Para a transformação de (c):
Ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Im(T)=\mathbb{R}^{3}.
Nulidade \dim\ker(T)=0.
Ordem (posto) \operatorname{rank}(T)=3.
É bijetora: sim.