a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2 \mathrm{z}, \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+2 y, 4 y+z, 3 x-z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(3 \mathrm{r}, \frac{\theta}{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede o seguinte:
  • (a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • (b) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{?}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-2z,\;x-y+z) é linear. (O enunciado escreveu \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} mas a expressão usa três coordenadas x,y,z; portanto vou entender que o domínio é \mathbb{R}^{3}.)
  • (c) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z) é linear.
  • (d) Decidir se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(3r,\;\theta/3) (com \mathrm{T}(0)=0) é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima (vou escolher uma que seja linear), determinar núcleo, imagem, nulidade e posto (ordem). Dizer se é bijetora.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • As fórmulas explícitas de \mathrm{T} em (b), (c) e (d).
  • Observação: em (b) há três variáveis, por isso tomo domínio \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Definições pedidas (a), bem mastigadas e com exemplos simples.
  • Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas propriedades juntas significam que T preserva soma e multiplicação por escalar. Intuitivamente: primeiro soma depois aplica T é igual a aplicar T em cada um e somar; e multiplicar por escalar antes de aplicar T é o mesmo que multiplicar por esse escalar depois de aplicar T.
  • Exemplo rápido: a aplicação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por T(x,y)=(2x-3y,\;x+y) é linear porque cada componente é uma combinação linear das coordenadas com coeficientes fixos (não há termos constantes nem produtos entre coordenadas).
  • Definição de núcleo (kernel): para uma transformação linear T:V\to W, o núcleo é o conjunto
\ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
É o conjunto de vetores que são enviados ao vetor zero. Propriedade útil: \ker(T) é um subespaço do domínio. A nulidade (nullity) é a dimensão de \ker(T).

Passo 3

Como testar linearidade na prática (método):
  • Se T é dada por componentes que são combinações lineares das coordenadas (sem termos constantes, sem produtos entre coordenadas, sem funções trigonométricas, log, etc.), então T é linear. Formalmente, isso equivale a existir uma matriz A tal que T(v)=A v para todo v.
  • Outra forma direta é verificar as duas propriedades T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) usando símbolos gerais; mas é suficiente e bem prático reconhecer que cada componente é uma combinação linear das coordenadas (coeficientes constantes).
  • Para ver que algo NÃO é linear, basta encontrar um contraexemplo, isto é, um vetor e um escalar (ou dois vetores) que violem uma das propriedades. Um contraexemplo é suficiente.

Passo 4

Verificação de (b). Vou interpretar \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com
\mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-2z,\;x-y+z).
  • Observação: cada componente da imagem é uma combinação linear das variáveis x,y,z com coeficientes constantes (por exemplo, primeira componente =3x+1\cdot y+(-2)z). Não há termos constantes nem produtos entre variáveis.
  • Logo existe uma matriz A\in M_{2\times 3}(\mathbb{R}) tal que T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, concretamente
A=\begin{pmatrix}3 & 1 & -2 \\[4pt] 1 & -1 & 1\end{pmatrix}.
  • Uma vez escrita assim, T é linear porque multiplicação de matriz por vetor satisfaz as propriedades de linearidade: A(u+v)=Au+Av e A(\alpha u)=\alpha(Au).
    Conclusão: a transformação em (b) é linear.]

Passo 5

Verificação de (c). A transformação é
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z).
  • Cada componente é combinação linear das coordenadas com coeficientes constantes (por exemplo, primeira componente =1\cdot x +2\cdot y +0\cdot z).
  • A matriz associada é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 4 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & -1\end{pmatrix}.
  • Logo T é da forma T(v)=Av, o que garante linearidade pelas mesmas razões do item anterior.
    Conclusão: a transformação em (c) é linear.]

Passo 6

Verificação de (d). A transformação é definida em coordenadas polares por
\mathrm{T}(r,\theta)=(3r,\;\theta/3),
com \mathrm{T}(0)=0.
  • Lembrete prático: escalares positivos multiplicam o raio r e deixam o ângulo \theta igual; por exemplo, 2\cdot (r,\theta)=(2r,\theta) (quando usamos multiplicação por escalar no espaço \mathbb{R}^{2} via representação polar, supondo escalar positivo).
  • Teste pela homogeneidade (multiplicação por escalar): tome um vetor com coordenadas polares (r,\theta) com \theta\neq 0, e escalar \alpha=2. Então
\mathrm{T}(2\cdot(r,\theta))=\mathrm{T}(2r,\theta)=(3\cdot 2r,\;\theta/3)=(6r,\;\theta/3).
Por outro lado
2\cdot \mathrm{T}(r,\theta)=2\cdot(3r,\;\theta/3)=(6r,\;2\theta/3).
As segundas componentes são \theta/3 e 2\theta/3, que são diferentes para \theta\neq 0. Portanto a propriedade \mathrm{T}(\alpha v)=\alpha \mathrm{T}(v) é violada.
  • Conclusão: \mathrm{T} em (d) não é linear. (Um contraexemplo numérico simples: escolha (r,\theta)=(1,\pi/2).)

Passo 7

Resolução completa do item (e): escolho a transformação de (c) (porque é linear e mapeia \mathbb{R}^{3}\) em \(\mathbb{R}^{3}\)), isto é \[\mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z).
Vou determinar núcleo, imagem, nulidade e posto, passo a passo.
  1. Escrevo o sistema \mathrm{T}(x,y,z)=0 para o núcleo:
\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] 4y+z=0,\\[4pt] 3x-z=0. \end{cases}
  1. Da primeira equação obtemos x=-2y\]. Da segunda, \(z=-4y. Substituo esses em \;3x-z=0:
3(-2y)-(-4y)=-6y+4y=-2y=0,
logo y=0. Então x=0 e z=0.
3) Assim \ker(T)=\{(0,0,0)\}. Portanto a nulidade (dimensão do núcleo) é
\dim\ker(T)=0.
  1. Para a imagem: a matriz associada é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 4 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante para ver se as colunas geram todo \mathbb{R}^{3}:
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[3pt] 0 & -1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt] 3 & -1\end{pmatrix} +0 =1\cdot(4\cdot(-1)-1\cdot 0)-2\cdot(0\cdot(-1)-1\cdot 3) =-4-2\cdot(-3)=-4+6=2.
Como \det(A)=2\neq 0, a matriz é invertível e suas colunas formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}
e o posto (rank) é
\operatorname{rank}(T)=3.
  1. Pela fórmula de Rank-Nullity para dimensão 3 temos \dim\ker(T)+\operatorname{rank}(T)=3, que aqui dá 0+3=3, consistente.
  2. Bijetividade: como \ker(T)=\{0\} (injeção) e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3} (sobreyetividade), T é bijetora. Outra forma de ver: matriz invertível \Rightarrow transformação linear bijetora.]

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para quaisquer u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}, vale T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Linear (interpretação tomada: \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-2z,\;x-y+z)).
(c) Linear ( \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y,\;4y+z,\;3x-z) ).
(d) Não é linear (contraexemplo pela homogeneidade: \mathrm{T}(2(r,\theta))\neq 2\mathrm{T}(r,\theta) em geral; por exemplo (r,\theta)=(1,\pi/2)).
(e) Para a transformação de (c):
Ker (T)=\{(0,0,0)\}.
Im (T)=\mathbb{R}^{3}.
Nulidade \dim\ker(T)=0.
Ordem (posto) \operatorname{rank}(T)=3.
É bijetora: sim.

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