a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+4 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x+y-3 z, 4 x+z, x-y)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{3}, 2 \theta\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

Enunciado e perguntas (trechos copiados do enunciado):
  • (a) “Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.”
  • (b) “ \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+4 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 \mathrm{z})
  • (c) “ \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x+y-3 z, 4 x+z, x-y)
  • (d) " \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{3}, 2 \theta\right), onde (r,\theta) são as coordenadas polares de (x,y), e T(0)=0"
  • (e) “Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?”
Observações necessárias para a leitura do problema:
  • O enunciado lista as partes (a) a (e) acima; as transformações (b), (c) e (d) são as que devemos testar se são lineares.
  • A parte (e) pede análise detalhada (núcleo, imagem, nulidade e ordem) para uma das transformações que forem lineares e também pergunta sobre bijetividade.

Passo 2

Definições pedidas em (a) — explicadas didaticamente e com exemplos simples.
  • Definição de transformação linear:
    Uma aplicação T entre espaços vetoriais (por exemplo \mathbb{R}^n e \mathbb{R}^m) é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \lambda, valem as duas propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\lambda u)=\lambda T(u)
O significado: T preserva soma e multiplicação por escalar. Na prática, se as componentes da imagem são combinações lineares (coeficientes constantes) das coordenadas de entrada, então geralmente T é linear. Exemplo rápido: T(x,y)=(2x+3y, -x) é linear porque cada saída é soma de escalares vezes as entradas.
  • Definição de núcleo (kernel):
    O núcleo de uma transformação linear T: V\to W é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero em W: \ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.O núcleo é um subespaço do domínio. A “nulidade” é a dimensão do núcleo, ou seja, \nullity(T)=\dim(\ker(T)). Exemplo: se T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é T(x,y)=(x+y,x+y), então \ker(T)=\{(x,-x)\} e \nullity(T)=1.
Dica prática para a prova: para decidir linearidade, tente verificar se cada componente da imagem é combinação linear (coeficientes constantes) das coordenadas de entrada; e sempre teste a propriedade de multiplicação por escalar com um exemplo simples se houver dúvida (é rápido e costuma revelar não linearidade).

Passo 3

Escolha do método e observação sobre domínio da parte (b):
  • Método: usar a definição direta de linearidade e, quando for o caso, a representação matricial. Isso é o mais direto para aplicações de \mathbb{R}^n dadas por fórmulas lineares nas coordenadas.
  • Observação prática (decisão a aplicar): na parte (b) a fórmula dada usa três coordenadas (x,y,z), então tratarei essa transformação como uma aplicação de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2, isto é, \;T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\; com T(x,y,z)=(x+4y-z,\;2x-y+3z).(Isso é coerente com a expressão dos componentes; se o enunciado textual tinha outra indicação de domínio, aqui uso a forma que corresponde às entradas escritas.)

Passo 4

Verificação de linearidade para a transformação da parte (b) (agora como \;T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\;):
  • Escrevendo u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2),
    u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
    Aplicando T a u+v:
    T(u+v)=\big((x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-(z_1+z_2),\;2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+3(z_1+z_2)\big).
    Agrupando termos:
    T(u+v)=\big((x_1+4y_1-z_1)+(x_2+4y_2-z_2),\;(2x_1-y_1+3z_1)+(2x_2-y_2+3z_2)\big).
    Que é exatamente T(u)+T(v). Logo preserva a soma.
  • Para escalares, seja \lambda\in\mathbb{R}:
    \lambda u=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1).
    Assim
    T(\lambda u)=\big(\lambda x_1+4\lambda y_1-\lambda z_1,\;2\lambda x_1-\lambda y_1+3\lambda z_1\big)=\lambda\big(x_1+4y_1-z_1,\;2x_1-y_1+3z_1\big)=\lambda T(u).
    Portanto preserva multiplicação por escalar.
  • Conclusão: a transformação da parte (b) é linear. Uma forma alternativa de ver isto é escrever T(v)=A v onde
    A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -1\\[4pt]2 & -1 & 3\end{pmatrix},
    que é uma matriz 2\times3; multiplicação matricial produz exatamente as expressões dadas. Toda transformação dada por multiplicação por matriz é linear.]

Passo 5

Verificação de linearidade para a transformação da parte (c):
  • Escrevendo T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
    T(x,y,z)=(2x+y-3z,\;4x+z,\;x-y),
    observe que cada componente é combinação linear das coordenadas (x,y,z) com coeficientes constantes. Formalmente, para u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) e \lambda\in\mathbb{R} as propriedades de aditividade e homogeneidade seguem do mesmo tipo de verificação que fizemos na parte (b). Também podemos escrever a matriz associada:
    A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3\\[4pt]4 & 0 & 1\\[4pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}
    e então T(v)=A v, comprovando linearidade automaticamente.
  • Conclusão: a transformação da parte (c) é linear.]

Passo 6

Verificação de linearidade para a transformação da parte (d):
  • A transformação está dada em coordenadas polares por
    T(r,\theta)=(r^3,\;2\theta),
    com T(0)=0. Para testar linearidade basta verificar a propriedade de homogeneidade (multiplicação por escalar) com um contraexemplo simples. Tome o vetor polar (r,\theta)=(1,1) (isto representa um certo vetor em \mathbb{R}^2) e o escalar \lambda=2.
    • Primeiro T(1,1)=(1^3,2\cdot 1)=(1,2).
    • Então \lambda T(1,1)=2(1,2)=(2,4).
    • Por outro lado, \lambda(1,1)=(2,1) (multiplicar vetor por escalar multiplica r por \lambda e deixa \theta igual) e T(\lambda(1,1))=T(2,1)=(2^3,2\cdot 1)=(8,2).
    • Como (8,2)\neq(2,4), a propriedade T(\lambda v)=\lambda T(v) falha.
  • Conclusão: a transformação da parte (d) não é linear. Intuição: o primeiro componente tem dependência cúbica em r e o segundo componente depende linearmente de \theta — mistura não linear nas coordenadas cartesianas.

Passo 7

Resumo até aqui (pré-limpeza para parte e):
  • (a) definições dadas no Passo 2.
  • (b) é linear (considerada como T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com a fórmula dada).
  • (c) é linear.
  • (d) não é linear.
Agora escolherei uma das transformações lineares para análise pedida em (e). Vou escolher a transformação da parte (c) porque é uma aplicação de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3 (matriz quadrada), o que facilita mostrar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto).

Passo 8

Matriz associada à transformação escolhida (parte (c)) e preparação para cálculo do núcleo e posto:
  • Matriz A que representa T na base canônica é A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3\\[4pt]4 & 0 & 1\\[4pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}.
  • Precisamos resolver o sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0 para obter \ker(T). Também queremos \operatorname{Im}(T) (coluna-espaço), a nulidade \nullity(T)=\dim(\ker(T)) e a “ordem” (interpreto aqui como posto, isto é \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}(T))). Finalmente, verificar bijetividade.]

Passo 9

Cálculo do núcleo de T\) (resolução do sistema homogêneo) — eliminação de Gauss passo a passo: - Escrevemos o sistema \(A[x,y,z]^T=0\), isto é: \[\begin{cases} 2x + y - 3z = 0,\\[4pt] 4x + 0y + z = 0,\\[4pt] x - y + 0z = 0. \end{cases}
  • Montamos a matriz aumentada (com coluna de zeros), mas rodaremos somente a parte dos coeficientes:
    \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\[4pt] 4 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Para eliminar de forma clara, trocamos a primeira linha pela terceira (para ter pivô 1\] no início): \[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 4 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.\] - Eliminação coluna 1 abaixo do pivô: - \(R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 R_2=[0,\;4,\;1].
    - R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 R_3=[0,\;3,\;-3].
    Assim:
    \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}.
  • Agora usar R_2 para eliminar em R_3: R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{4}R_2. Calculando:
    • Segunda entrada: 3 - \tfrac{3}{4}\cdot 4 = 3-3=0.
    • Terceira entrada: -3 - \tfrac{3}{4}\cdot 1 = -3 - \tfrac{3}{4} = -\tfrac{15}{4}.
      Assim R_3=[0,0,-\tfrac{15}{4}]. Matriz escalonada:
    \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{15}{4} \end{pmatrix}.
  • Da última linha obtemos -\tfrac{15}{4} z = 0 logo z=0.
  • Da segunda linha 4y + 1\cdot z = 0 com z=0 y=0.
  • Da primeira linha x - y = 0 com y=0 x=0.
  • Portanto a única solução é x=y=z=0. Logo
    \ker(T)=\{\,(0,0,0)\,\}.
    Isso implica \nullity(T)=\dim(\ker(T))=0.]

Passo 10

Cálculo do posto (ordem) e da imagem de T:
  • Encontramos que o sistema homogêneo só tem solução trivial, o que indica que as colunas de A são linearmente independentes. Ou alternativamente, podemos calcular o determinante de A (já que A é 3\times3): \det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.Calculando cada determinante pequeno: 2\cdot(0\cdot 0 - 1\cdot(-1)) -1\cdot(4\cdot 0 - 1\cdot 1) -3\cdot(4\cdot(-1) - 0\cdot 1) =2\cdot 1 -1\cdot(-1) -3\cdot(-4)=2+1+12=15.Como \det(A)=15\neq 0, a matriz é invertível.
  • Consequências:
    • As colunas de A formam uma base de \mathbb{R}^3; portanto \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
    • O posto (rank) é \operatorname{rank}(T)=3.
    • Pela fórmula da dimensão (teorema da dimensão, ou teorema núcleo-imagem), para transformação de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3: \nullity(T)+\operatorname{rank}(T)=3.Aqui 0+3=3 confirma consistência.]

Passo 11

Bijetividade da transformação da parte (c):
  • Uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita é bijetora se, e somente se, é injetora (ou se, e somente se, é sobrejetora). Como \ker(T)=\{0\} (injetora) e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (sobrejetora), concluímos que T é bijetora.
  • Outra forma: \det(A)\neq 0 implica que existe A^{-1} e então T é invertível (bijetora).

Passo 12

Dicas rápidas para a prova (como aplicar isso na hora):
  • Para testar linearidade, verifique rapidamente se cada componente é combinação linear das coordenadas; se houver termos como r^3, produtos entre coordenadas ou funções trigonométricas não lineares, então é não linear — um contraexemplo com multiplicação por escalar quase sempre revela a falha rapidamente.
  • Para encontrar núcleo, escreva Av=0 e faça eliminação de Gauss; se apenas a solução trivial, nulidade =0 e se espaço domínio e imagem têm mesma dimensão \Rightarrow bijetivo.
  • Use o determinante em matrizes quadradas: \det\neq 0 resolve muito rápido (injetiva/sobrejetiva/inversível).
  • Lembre-se da igualdade \nullity+\operatorname{rank}=\dim(\text{domínio}).

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para quaisquer u,v\in V e \lambda\in\mathbb{R}, valem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\} (subespaço do domínio); nulidade é \dim(\ker(T)).
(b) A transformação \;T(x,y,z)=(x+4y-z,\;2x-y+3z)\; (interpretação como T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2) é linear.
(c) A transformação \;T(x,y,z)=(2x+y-3z,\;4x+z,\;x-y)\; é linear.
(d) A transformação \;T(r,\theta)=(r^3,2\theta)\; (em coordenadas polares) não é linear.
(e) Para a transformação da parte (c):
\ker(T)=\{\,(0,0,0)\,\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3
\nullity(T)=0
\operatorname{ordem}\\ (\text{posto})=\operatorname{rank}(T)=3
Bijetora? Sim — T é bijetora.

Exercícios relacionados