a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x+y, 3 y-z, x+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}, \theta+\frac{\pi}{4}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar claramente cada pergunta e os dados fornecidos:
  • (a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (nulidade) de uma transformação linear.
  • (b) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\; \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y-z) é linear. (Observação: o enunciado escreve domínio \mathbb{R}^2 mas dá vetores com três coordenadas (x,y,z). Vou assumir que isto é um lapso e que a transformação correta é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com a regra dada.)
  • (c) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\; \mathrm{T}(x,y,z)=(2x+y,\;3y-z,\;x+4z) é linear.
  • (d) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\;\theta+\tfrac{\pi}{4}) (com T(0)=0) é linear. Aqui (r,\theta) são as coordenadas polares do ponto (x,y).
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (interpreto “ordem” como posto/ranque) e dizer se é bijetora.
A partir daqui vou explicar os conceitos necessários e testar cada transformação passo a passo, sempre mostrando as contas e raciocínios.

Passo 2

Definições e ideias fundamentais (explicadas devagar, como um amigo ensinando).
  • Definição de transformação linear: seja V e W espaços vetoriais (aqui vetores em \mathbb{R}^n). Uma aplicação T:V\to W é linear se, para todo u,v\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
    T(u+v)=T(u)+T(v)
    e
    T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
    Em palavras: T respeita soma de vetores (aditividade) e multiplicação por escalar (homogeneidade). Essas duas propriedades juntas garantem que T preserva toda a estrutura linear.
    Observação prática: se as componentes de T são combinações lineares das coordenadas (isto é, cada componente é soma de coeficientes vezes as coordenadas, sem termos constantes), então T é linear. Isso corresponde a T representada por multiplicação por matriz.
  • Núcleo (ou kernel) de T: é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor nulo no contradomínio. Em símbolos,
    \ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
    O núcleo é um subespaço de V. Se \ker(T)=\{0\} dizemos que T é injetora. A dimensão do núcleo chama-se nulidade.
  • Imagem (ou alcance) de T: é o conjunto de vetores no contradomínio que são imagens de algum vetor do domínio:
    \operatorname{Im}(T)=\{w\in W \mid \exists v\in V,\; T(v)=w\}.
    A dimensão da imagem chama-se posto (rank). O Teorema do Rango-Nulidade (rank-nullity) diz, para transformações lineares entre espaços de dimensão finita, que
    \dim(V)=\operatorname{rank}(T)+\dim(\ker(T)).
    Vou usar essas ideias para decidir linearidade e para calcular núcleo e imagem quando apropriado.

Passo 3

Como testar linearidade na prática (truque útil e demonstração passo a passo):
  • Método direto (definição): pegar vetores u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n) e escalar \alpha, calcular T(u+v) e T(u)+T(v); se sempre baterem e também T(\alpha u)=\alpha T(u) sempre bater, então T é linear. Vou fazer isso explicitamente para cada transformação.
  • Método matriz: se T pode ser escrita na forma T(x)=A x para alguma matriz A (sem termos constantes), então T é linear automaticamente. Vou identificar a matriz quando possível — isso torna as contas muito simples.

Passo 4

Análise da transformação do item (b). Reescrevo assumindo domínio \mathbb{R}^3:
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y-z).
  • Observação: cada componente é uma combinação linear das variáveis x,y,z sem termo constante. Isso já é um forte indício de linearidade. Para ser totalmente formal, faço a verificação por aditividade e homogeneidade:
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) e
T(u+v)=\big((x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\big).
Reagrupando termos,
T(u+v)=\big((x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2),\;(3x_1+2y_1-z_1)+(3x_2+2y_2-z_2)\big).
Isso é exatamente T(u)+T(v). Para homogeneidade, para escalar \alpha,
T(\alpha u)=\big(\alpha x_1-\alpha y_1+\alpha z_1,\;3\alpha x_1+2\alpha y_1-\alpha z_1\big)=\alpha T(u).
Portanto T satisfaz as duas propriedades e é linear.
Também posso exibir a matriz que representa T na base canônica:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & -1 \end{pmatrix},
de modo que T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. Conclusão: a transformação do item (b) é linear.]

Passo 5

Análise da transformação do item (c):
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y,z)=(2x+y,\;3y-z,\;x+4z).
  • Novamente cada componente é combinação linear das coordenadas sem termo constante. Assim T é muito provavelmente linear. Faço a verificação pela representação matricial:
A matriz associada A (na base canônica) é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 4 \end{pmatrix},
pois multiplicando A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} obtemos exatamente (2x+y,\;3y-z,\;x+4z). Uma matriz multiplicando vetor é sempre uma transformação linear, então T é linear.
  • Vou verificar se é invertível (isso será útil para o item (e) quando eu escolher uma transformação para analisar): calculo o determinante de A.
    Uso expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A)=2\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]0 & 4\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[2pt]0 & 4\end{pmatrix}=3\cdot 4-(-1)\cdot 0=12,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[2pt]1 & 4\end{pmatrix}=0\cdot 4-(-1)\cdot 1=1.
Logo
\det(A)=2\cdot 12 - 1\cdot 1 = 24-1=23\neq 0.
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e a transformação T é invertível (em particular linear, injetora e sobrejetora). Conclusão: (c) é linear e invertível.]

Passo 6

Análise da transformação do item (d):
T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(r,\theta)=\big(r,\;\theta+\tfrac{\pi}{4}\big),
onde (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y), e ainda foi dado T(0)=0.
  • Interpretação geométrica: em coordenadas polares a regra (r,\theta)\mapsto (r,\theta+\tfrac{\pi}{4}) significa girar cada ponto em torno da origem por um ângulo \tfrac{\pi}{4} (45 graus), mantendo o raio r. Geometricamente uma rotação em torno da origem é um operador linear (representado por uma matriz de rotação).
  • Para ver a linearidade algebraicamente, passo para coordenadas cartesianas. Se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, então após a transformação:
x' = r\cos\big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\big),\qquad y' = r\sin\big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\big).
Uso as fórmulas de soma de ângulos:
\cos\big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\big)=\cos\theta\cos\tfrac{\pi}{4}-\sin\theta\sin\tfrac{\pi}{4},
\sin\big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\theta\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos\theta\sin\tfrac{\pi}{4}.
Como \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, substituindo e lembrando x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta, obtemos
x'=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,x - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\,y,\qquad y'=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,x + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\,y.
Em forma matricial:
\begin{pmatrix}x'\\[4pt] y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\tfrac{\pi}{4} & -\sin\tfrac{\pi}{4}\\[4pt] \sin\tfrac{\pi}{4} & \cos\tfrac{\pi}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
Essa é exatamente a matriz de rotação de ângulo \tfrac{\pi}{4}. Uma multiplicação por matriz é linear, então T é linear. A condição T(0)=0 é compatível (a rotação manda a origem na origem).
Resumo: a transformação que em polares adiciona \tfrac{\pi}{4} ao ângulo é a rotação de 45^\circ em coordenadas cartesianas e é linear.]

Passo 7

Escolha de uma transformação para o item (e) e cálculo de núcleo, imagem, nulidade e posto; avaliar bijetividade.
  • Vou escolher a transformação do item (c), porque é uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 associada à matriz quadrada que já calculei e cujo determinante achei não nulo. Relembro:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \qquad T(v)=A v.
  • Núcleo ( \ker(T)): resolver A v=0. Como \det(A)=23\neq 0, a única solução da equação homogênea é v=0. Logo
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
  • Nulidade (dimensão do núcleo): como o núcleo contém apenas o vetor zero, sua dimensão é 0. Portanto a nulidade é 0.
  • Imagem ( \operatorname{Im}(T)): para uma matriz quadrada invertível, a imagem é todo o espaço de chegada. Assim
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
  • Posto/ordem (rank): \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}(T))=3.
  • Bijetividade: como T é linear, injetora (núcleo trivial) e tem posto máximo igual à dimensão do contradomínio, segue que T é sobrejetora; injetora + sobrejetora implica bijetora. Consequentemente T é bijetora (tem inversa linear).]

Passo 8

Pequeno resumo pedagógico final (rápido), para você lembrar na prova:
  • Se uma transformação é dada por combinações lineares das coordenadas sem termos constantes, procure a matriz. A multiplicação por matriz garante linearidade.
  • Para checar linearidade diretamente, teste aditividade e homogeneidade em símbolos; mas quase sempre a forma matricial é mais prática.
  • Para núcleo: resolva A v=0 (se matriz quadrada e determinante não nulo, núcleo trivial). Para imagem: colunas da matriz geram a imagem; o posto é o número de colunas linearmente independentes. Use o teorema do posto-nulidade para conferir consistência.

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todo u,v\in V e todo \alpha\in\mathbb{R}, valem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\; T(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y-z) é linear.
(c) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\; T(x,y,z)=(2x+y,\;3y-z,\;x+4z) é linear.
(d) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\; T(r,\theta)=(r,\theta+\tfrac{\pi}{4}) (com T(0)=0) é linear (é a rotação de 45^\circ expressa em coordenadas cartesianas por multiplicação pela matriz de rotação).
(e) Para a transformação do item (c): \ker(T)=\{(0,0,0)\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}. Nulidade =0. Ordem (posto) =3. Essa transformação é bijetora.

Exercícios relacionados