a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-3 \mathrm{z}, 4 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x-2 y+3 z, 2 x+y-z, 3 x-y+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\frac{\mathrm{r}}{2}, \theta\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar claramente cada pergunta e os dados que foram fornecidos:
  • (a) Definir: (i) transformação linear e (ii) núcleo de uma transformação linear.
  • (b) Verificar se a transformação \mathrm{T} dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2\mathrm{x}+\mathrm{y}-3\mathrm{z},\,4\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}) é linear. (Observação: o enunciado escreveu \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 mas o argumento tem três coordenadas (x,y,z). Vou considerar que a intenção correta é \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2.)
  • (c) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x-2y+3z,\,2x+y-z,\,3x-y+4z) é linear.
  • (d) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por \mathrm{T}(r,\theta)=\big(\tfrac{r}{2},\theta\big) (onde (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y) e T(0)=0) é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima (vou escolher uma apropriada), determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (interpreto “ordem” como posto/rank). Decidir se essa transformação é bijetora.
Pronto — agora sei exatamente o que o exercício pede e quais dados temos. Vou provar linearidade das transformações pedidas e, para a escolhida em (e), calcular núcleo, imagem, nulidade e posto com passos detalhados.

Passo 2

Definições e critérios úteis (aulas rápidas, mas com calma).
  • Definição de transformação linear: Uma aplicação T entre espaços vetoriais T:V\to W é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, vale
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha v)=\alpha T(v).
Intuitivamente: linearidade significa que T preserva soma e multiplicação por escalares — pensa em “o operador distribui sobre soma e escala”. Outra maneira equivalente (útil em prova) é provar as duas propriedades acima; às vezes prova-se que T(0)=0 e que T é homogênea e aditiva, mas a forma correta é usar as duas propriedades escritas.
  • Núcleo (kernel) de uma transformação linear: Para T:V\to W, o núcleo é o conjunto de vetores de V levados ao vetor zero de W. Em símbolos,
\ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
É um subespaço de V. A nulidade (nullity) é a dimensão de \ker(T).
  • Imagem (range) de T: \mathrm{Im}(T)=\{w\in W\mid \exists v\in V\\ \text{tal que}\\ T(v)=w\}. É um subespaço de W. O posto (rank) é a dimensão de \mathrm{Im}(T).
  • Teorema fundamental (fórmula dimensão): Se V é de dimensão finita n e T:V\to W linear, então
\dim(\ker(T))+\dim(\mathrm{Im}(T))=\dim(V).
Isto nos permite calcular nulidade e posto facilmente quando conhecemos um deles.
  • Observação prática: toda transformação dada por combinações lineares das coordenadas (isto é, por expressões do tipo com somas e multiplicações por constantes, sem termos constantes independentes) tem representação matricial T(v)=A v. Nesse caso, T é linear automaticamente; para provar isso basta lembrar que a multiplicação matricial satisfaz A(u+v)=Au+Av e A(\alpha v)=\alpha Av.
Exemplo rápido: a transformação que a cada (x,y) associa (x/2,y/2) é simplesmente multiplicação pela matriz \frac{1}{2}I, portanto linear.

Passo 3

Verificação de linearidade para o item (b).
  • Dados (do Passo 1): vou considerar \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
\mathrm{T}(x,y,z)=\big(2x+y-3z,\;4x-y+z\big).
  • Representação matricial: podemos escrever T como T(v)=A v com v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} e
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -3\\[4pt] 4 & -1 & 1\end{pmatrix}.
  • Porque T é dada por multiplicação pela matriz A, ela satisfaz as propriedades lineares (multiplicação matricial é linear). Formalmente, para u,v\in\mathbb{R}^3 e \alpha\in\mathbb{R},
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(\alpha v)=A(\alpha v)=\alpha(Av)=\alpha T(v).
  • Conclusão para (b): a transformação é linear.]

Passo 4

Verificação de linearidade para o item (c).
  • Dados: \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com
\mathrm{T}(x,y,z)=(x-2y+3z,\;2x+y-z,\;3x-y+4z).
  • Representação matricial: escrevendo v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, a matriz associada é
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 4 \end{pmatrix},
e T(v)=A v.
  • Pelo mesmo argumento do passo anterior (multiplicação por matriz), T é linear porque A(u+v)=Au+Av e A(\alpha v)=\alpha Av.
  • Conclusão para (c): a transformação é linear.]

Passo 5

Verificação de linearidade para o item (d) — cuidado com polar/Cartesian, mas é simples.
  • Dados: \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por, para (x,y)\neq(0,0) com coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,
\mathrm{T}(r,\theta)=\Big(\tfrac{r}{2},\theta\Big),
e T(0)=0.
  • Converter para coordenadas cartesianas: tome um vetor v=(x,y) com r=\sqrt{x^2+y^2} e algum ângulo \theta tal que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então a imagem em coordenadas cartesianas corresponde a
T(v)=\big(\tfrac{r}{2}\cos\theta,\;\tfrac{r}{2}\sin\theta\big)=\tfrac{1}{2}\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta\big)=\tfrac{1}{2}(x,y).
  • Portanto, para todo v\in\mathbb{R}^2 (incluindo v=0 pois T(0)=0), temos
T(v)=\tfrac{1}{2}v.
  • A transformação é multiplicação por escala \tfrac{1}{2}, ou seja, tem matriz \tfrac{1}{2}I_2. Isso garante imediatamente linearidade: para u,v e \alpha,
T(u+v)=\tfrac{1}{2}(u+v)=\tfrac{1}{2}u+\tfrac{1}{2}v=T(u)+T(v),
T(\alpha v)=\tfrac{1}{2}(\alpha v)=\alpha\big(\tfrac{1}{2}v\big)=\alpha T(v).
  • Observação sobre bem-definição: a representação polar de um vetor não é única (ângulo pode mudar por 2\pi), mas o par (r,\theta)\mapsto (r/2,\theta) corresponde em coordenadas cartesianas a (x/2,y/2), que é único — então T está bem definida como função em \mathbb{R}^2.
  • Conclusão para (d): a transformação é linear (é homotetia de razão 1/2).

Passo 6

Escolha para (e) e cálculo detalhado de núcleo, imagem, nulidade e posto; verificar bijetividade.
  • Vou escolher a transformação do item (c):
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z)=(x-2y+3z,\;2x+y-z,\;3x-y+4z),
com matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
  • Para determinar núcleo e imagem é muito útil saber se A é invertível. Calculo o determinante de A:
\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}.
Faço o desenvolvimento por cofatores na primeira linha (mostro cada passo):
\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 4\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 4\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & -1\end{vmatrix}.
Calculo cada menor:
\begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 4\end{vmatrix}=1\cdot4-(-1)(-1)=4-1=3,
\begin{vmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 4\end{vmatrix}=2\cdot4-(-1)\cdot3=8+3=11,
\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & -1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot3=-2-3=-5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 3 + 2\cdot 11 + 3\cdot(-5)=3+22-15=10.
  • Como \det(A)=10\neq 0, a matriz é invertível. Consequências imediatas:
    • A única solução de A v=0 é v=0. Logo \ker(T)=\{0\}.
    • Isso implica nulidade \dim(\ker(T))=0.
    • Sendo a matriz invertível, a imagem é todo o \mathbb{R}^3: \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
    • O posto (rank) é \dim(\mathrm{Im}(T))=3.
    • Como é bijetora? Sim: invertibilidade da matriz implica que T é injetora (kernel trivial) e sobrejetora (imagem é todo \mathbb{R}^3), portanto bijetora.
  • Resumo dos cálculos: determinante não-nulo \Rightarrow kernel trivial, nulidade 0, posto 3, imagem \mathbb{R}^3, bijetora: sim.]

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todo u,v\in V e todo \alpha\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(\alpha v)=\alpha T(v).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Linear.
(c) Linear.
(d) Linear (equivalente a T(x,y)=\tfrac{1}{2}(x,y)).
(e) Para a transformação do item (c):
\ker(T)=\{0\}
\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3
Nulidade =\dim(\ker(T))=0
Ordem (posto) =\dim(\mathrm{Im}(T))=3
Bijetora: sim.

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