a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+y-z, 2 x-3 y+4 z, 5 x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}, \theta^{2}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas:
(a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Determinar se a transformação \mathrm{T} dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}-2\mathrm{y}+3\mathrm{z},\,3\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}) é linear. (Observação: o enunciado colocou \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 mas os argumentos usam três coordenadas (x,y,z). Vou assumir que a intenção correta é \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2.)
(c) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x+y-z,\,2x-3y+4z,\,5x+z) é linear.
(d) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\theta^2) (com \mathrm{T}(0)=0) é linear.
(e) Para uma das transformações que forem lineares, encontrar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto/rank). Dizer se essa transformação é bijetora.
As informações relevantes fornecidas estão listadas acima (mapas e domínios). Não inicio resolução aqui — só organizei o que o problema pede.
Passo 2
Definições e conceitos básicos (didático, passo a passo).
Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais (por exemplo T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m) é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^n e todo escalar c\in\mathbb{R}, vale
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Essas duas propriedades podem ser sintetizadas: T preserva combinações lineares, isto é, para quaisquer escalares a,b e vetores u,v,
T(au+bv)=aT(u)+bT(v).
Observações úteis: uma consequência necessária (mas não suficiente) é T(0)=0. Outro fato prático: se cada componente de T é uma combinação linear das coordenadas de entrada (sem termos constantes não nulos), então T é linear — pois cada componente satisfaz as propriedades de linearidade.
Núcleo (kernel): o núcleo de T é o conjunto de vetores da origem que são levados ao vetor zero do contradomínio. Formalmente,
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^n \mid T(v)=0\}.
O núcleo é um subespaço de \mathbb{R}^n.
Imagem (image) e posto (rank/ordem): a imagem de T é o conjunto de vetores atingidos por T,
que também é um subespaço de \mathbb{R}^m. A dimensão da imagem é o posto (rank, que aqui chamaremos de ordem se o enunciado pediu “ordem”).
Nulidade (nullity): é a dimensão do núcleo, \dim(\ker(T)).
Teorema posto-nulidade (linha guia): para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
Isso é muito útil para checar contas: nulidade + posto = n.
Passo 3
Como testar linearidade na prática (estratégia):
Método 1 (mais direto): verificar as duas propriedades T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u). Em exercícios com componentes dadas por combinações lineares, é rápido fazer essa verificação por álgebra.
Método 2 (matricial): se T pode ser escrita como multiplicação por uma matriz A, isto é, T(x)=A x, então T é linear (toda multiplicação por matriz representa transformação linear).
Vou usar a observação prática: se cada componente de T é uma combinação linear das coordenadas (sem termos constantes ou multiplicações não-lineares entre coordenadas), então T é linear.
Agora aplico isso caso a caso.
Passo 4
Item (b): analisar \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x-2y+3z,\;3x+y-z).
Observação: cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z (coeficientes constantes, sem termos quadráticos ou independentes).
Posso escrever T como multiplicação por matriz. A matriz A correspondente (colocando as componentes como linhas) é
Para ver que T é linear, mostro que para vetores u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) e escalar c,
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(cu)=A(cu)=c(Au)=cT(u).
Isto segue das propriedades da multiplicação de matrizes por soma e por escalar. Conclusão: T é linear.
Vou também mostrar rapidamente um exemplo concreto de verificação direta em componentes (apenas para treinar):
Se u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2), então a primeira componente de T(u+v) é
Pelo mesmo raciocínio matricial, T(x)=Ax preserva soma e multiplicação por escalar, portanto T é linear.]
Passo 6
Item (d): analisar \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por coordenadas polares \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\theta^2) e \mathrm{T}(0)=0.
Importante: aqui (r,\theta) são as coordenadas polares do vetor (x,y). Transformações lineares são definidas no espaço vetorial \mathbb{R}^2 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar sobre as coordenadas cartesianas (x,y). Usar polar exige cuidado porque a representação polar não é linear em geral (ângulo envolve funções trigonométricas).
Verificamos uma condição rápida: embora \mathrm{T}(0)=0 (dado), isso não garante linearidade.
Faço um contraexemplo usando multiplicação por escalar -1. Considere o vetor v=(1,0) em coordenadas cartesianas; suas coordenadas polares são (r,\theta)=(1,0). Então
T(1,0)=(1,0^2)=(1,0).
Agora considere -v=(-1,0). Em coordenadas polares um representante para -v é (r,\theta)=(1,\pi) (mesma r, ângulo acrescido de \pi). Assim
T(-1,0)=T(1,\pi)=(1,\pi^2).
Mas se T fosse linear deveríamos ter T(-v)=-T(v), isto é (-1)\cdot(1,0)=(-1,0). Comparando,
T(-v)=(1,\pi^2)\neq(-1,0)=-T(v).
Logo a propriedade de homogeneidade falha; portanto T não é linear.
Conclusão: T de coordenadas polares não é linear (por causa do \theta^2 e do comportamento do ângulo sob multiplicação por escalares negativos e somas).
Passo 7
Escolha de qual transformação analisar em (e) para núcleo, imagem, nulidade e ordem:
Vou escolher a transformação do item (c) (aquela de \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com matriz A de 3\times3). Motivo: é linear e a matriz quadrada permite calcular núcleo e imagem de forma direta e os cálculos são simples de fazer à mão; dá exemplos bonitos para nulidade e posto.
Encontrar o núcleo de T\) (solução de \(Ax=0\)) — passo a passo com eliminação:
- Escrevo o sistema \(A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0\), ou seja as equações
\[\begin{cases} x + y - z = 0,\\[4pt] 2x -3y +4z = 0,\\[4pt] 5x + 0y + z = 0. \end{cases}
Faço eliminação (operações com as linhas da matriz ampliada). Começo com a matriz de coeficientes:
Imagem, posto (ordem) e nulidade — cálculo e verificação pelo teorema posto-nulidade:
As colunas de A\) são
\[c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 5\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}.
A imagem de T é o subespaço gerado por essas colunas: \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.
Pelo processo de eliminação vimos que há exatamente duas linhas pivô (matriz reduziu a duas linhas não nulas). Isso indica que o posto é 2.
Podemos escolher como base da imagem as colunas correspondentes às colunas-pivô (aqui, colunas 1 e 2 são independentes, como se confirma abaixo). Então
Verificação de independência de c_1,c_2: se a c_1 + b c_2 = 0 então o sistema
\begin{cases} a + b = 0,\\[4pt] 2a -3b = 0,\\[4pt] 5a + 0b = 0 \end{cases}
implica a=0,b=0\], logo são independentes.
- Nulidade (dimensão do núcleo) é \(1 (temos uma única direção geradora).
- Posto/ordem (dimensão da imagem) é 2.
- Conferência pelo teorema posto-nulidade: \operatorname{nulidade} + \operatorname{posto} = 1 + 2 = 3, que é n (dimensão do domínio), OK.]
Passo 10
A pergunta sobre bijetividade (para a transformação escolhida em (e), a do item (c)):
Para ser bijetora uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 precisa ser injetora e sobrejetora. Injetora equivale a \ker(T)=\{0\} (nulidade =0), e sobrejetora equivale a posto =3 (imagem todo \mathbb{R}^3).
Aqui a nulidade é 1 (não é zero) e o posto é 2 (menor que 3). Logo T não é injetora nem sobrejetora, portanto não é bijetora.
Resposta
(a) Uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é uma aplicação que satisfaz, para todos u,v\in\mathbb{R}^n e todo escalar c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(cu)=cT(u).
O núcleo (kernel) de T é \ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^n\mid T(v)=0\}.
(b) \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\;T(x,y,z)=(x-2y+3z,\;3x+y-z) é linear (matriz associada \begin{pmatrix}1&-2&3\\[4pt]3&1&-1\end{pmatrix}).
(c) \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;T(x,y,z)=(x+y-z,\;2x-3y+4z,\;5x+z) é linear (matriz associada \begin{pmatrix}1&1&-1\\[4pt]2&-3&4\\[4pt]5&0&1\end{pmatrix}).
(d) \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por coordenadas polares \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\theta^2) não é linear (contraexemplo: T(-1,0)=(1,\pi^2)\neq -T(1,0)=(-1,0)).
Im(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}.
Nulidade =1.
Ordem (posto) =2.
Esta transformação não é bijetora.]