a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}, 4 \mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x-y, 3 y+z, 4 x+5 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(\sqrt{r}, 3 \theta), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • (b) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y+3z,\;4x-y-z) é linear.
  • (c) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(2x-y,\;3y+z,\;4x+5z) é linear.
  • (d) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(r,\theta)=(\sqrt{r},\;3\theta) (coordenadas polares de (x,y), com T(0)=0) é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem; dizer se é bijetora.
Informação importante sobre (b): o enunciado diz \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} mas fornece três coordenadas de entrada (x,y,z). Vou considerar que isso é um pequeno erro tipográfico no enunciado e que o domínio correto da transformação de (b) é \mathbb{R}^{3} (porque aparecem x,y,z). Vou usar essa interpretação ao resolver.

Passo 2

Definição didática de transformação linear e núcleo (vou explicar devagar, passo a passo).
  • Definição de transformação linear: Uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais é chamada de transformação linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas propriedades dizem, em palavras, que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalares. Uma forma prática: se as componentes de T são combinações lineares das coordenadas (sem termos constantes e sem funções não-lineares como \sqrt{\cdot}, potências não inteiras, seno, etc.), então T é linear. Outra forma prática: existe uma matriz A tal que T(v)=A v para todo v; nesse caso T é linear.
  • O que é o núcleo (kernel) de T: o núcleo de T é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio:
    \ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
    O núcleo é um subespaço do domínio. Importante: T é injetora se e somente se \ker(T)=\{0\}.
  • Conceitos relacionados que vou usar depois:
    • Imagem (ou alcance) de T: \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\}, também é um subespaço de W.
    • Nullidade (nulidade) de T: \dim(\ker(T)).
    • Posto (rank, que aqui vou chamar de “ordem” conforme o enunciado): \dim(\operatorname{Im}(T)).
    • Teorema fundamental da álgebra linear para transformações entre espaços de dimensão finita: se o domínio tem dimensão n, então \text{nulidade} + \text{posto} = n.
Explicação curta de como testar linearidade na prova:
  • Verifique se cada componente de T é uma combinação linear das coordenadas (sem constantes, sem raízes, sem produtos entre coordenadas, etc.). Se sim, dá para escrever T(v)=A v e então é linear.
  • Se alguma componente contém termos não-lineares (por exemplo \sqrt{r}, xy, \sin x, constante adicionada), então é não-linear; uma maneira direta de provar não-linearidade é achar um contraexemplo para homogeneidade (escalar) ou aditividade (soma).

Passo 3

Analisando o item (b). Primeiro repito a transformação com a interpretação de que o domínio é \mathbb{R}^3:
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y+3z,\;4x-y-z).
Observações e teste:
  • Cada componente é uma combinação linear das variáveis x,y,z (não há termos constantes e nem funções não-lineares).
  • Posso escrever T na forma matricial T(v)=A v com
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 4 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}.
  • Como existe matriz A tal que T(v)=A v para todo v, T satisfaz aditividade e homogeneidade automaticamente. Conclusão: T é transformação linear.
Dica rápida para a prova: mostrar a forma matricial é a forma mais rápida e segura de justificar linearidade quando as componentes são combinações lineares.]

Passo 4

Analisando o item (c). Reescrevo a transformação:
\mathrm{T}(x,y,z)=(2x-y,\;3y+z,\;4x+5z).
  • Novamente cada componente é combinação linear das variáveis x,y,z (sem constantes e sem não-lineares).
  • Posso escrever a matriz associada A (em base canônica) como
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
  • Logo T(v)=A v e T é transformação linear.
Vou já avaliar uma propriedade útil para (e): verificar se A é invertível (o que implica bijetividade). Calculo o determinante de A (passo a passo):
\det(A)=2\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]4 & 5\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix}=3\cdot 5-1\cdot 0=15,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]4 & 5\end{pmatrix}=0\cdot5-1\cdot4=-4.
Portanto
\det(A)=2\cdot 15 -(-1)\cdot(-4)=30-4=26.
Como \det(A)=26\neq 0, a matriz é invertível, o que implica que T é bijetora (injetora e sobrejetora) e tem núcleo trivial.]

Passo 5

Analisando o item (d). Transformação dada em coordenadas polares:
\mathrm{T}(r,\theta)=(\sqrt{r},\;3\theta),\qquad T(0)=0.
Lembrete importante: linearidade é uma propriedade sobre a operação vetorial no espaço (aqui \mathbb{R}^2 com operações usuais em coordenadas cartesianas). A descrição em polares não altera isso: se a regra envolve \sqrt{r} estamos aplicando uma função não-linear nas coordenadas (raiz quadrada).
Contraexemplo simples para a propriedade de homogeneidade (multiplicação por escalar):
  • Considere o vetor na forma cartesiana (1,0). Em polares tem-se r=1,\theta=0.
  • Calculo T(1,0)=(\sqrt{1},\;3\cdot 0)=(1,0).
  • Agora escalo o vetor por 4: 4\cdot(1,0)=(4,0), que em polares tem r=4,\theta=0. Logo T(4,0)=(\sqrt{4},\;3\cdot 0)=(2,0).
  • Se T fosse linear deveríamos ter T(4\cdot(1,0))=4\cdot T(1,0) = 4\cdot(1,0)=(4,0), mas na realidade T(4,0)=(2,0)\neq(4,0).
    Portanto a homogeneidade falha e T não é linear.
Também dá para ver de forma intuitiva: \sqrt{r} não é linear em r; e a passagem entre coordenadas polares e cartesianas torna a operação ainda mais incompatível com linearidade (produto escalar e soma em cartesianas não correspondem a multiplicações simples em r,\theta).

Passo 6

Escolha para o item (e): vou usar a transformação do item (c) (porque é uma transformação linear invertível, o que nos permite calcular núcleo, imagem, nulidade e ordem com clareza).
Dados:
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z)=(2x-y,\;3y+z,\;4x+5z),
com matriz A já escrita:
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 4 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
  • Núcleo: resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0. Como \det(A)=26\neq 0, a única solução do sistema homogêneo é o vetor zero. Logo
    \ker(T)=\{(0,0,0)\}.
  • Imagem: como a matriz tem posto total (ver abaixo) e mapeia \mathbb{R}^3 num espaço de dimensão 3, a imagem é todo \mathbb{R}^3:
    \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
  • Nulidade: \dim(\ker(T))=0, porque o núcleo é apenas o vetor zero.
  • Ordem (posto/rank): \dim(\operatorname{Im}(T))=3. Alternativamente, pelo cálculo do determinante saber que a matriz é invertível implica posto 3.
  • Bijetividade: como \ker(T)=\{0\} (injetiva) e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (sobrejetiva), T é bijetora.
Pequena explicação intuitiva: determinante não nulo → colunas linearmente independentes → imagem tem dimensão máxima → inversível → bijetora.]

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para quaisquer u,v\in V e qualquer escalar \alpha, valem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.\n
(b) Sim. \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\;T(x,y,z)=(x+2y+3z,\;4x-y-z) é linear (pode ser escrita como T(v)=A v com A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[2pt]4&-1&-1\end{pmatrix}).\n
(c) Sim. \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;T(x,y,z)=(2x-y,\;3y+z,\;4x+5z) é linear (matriz A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\[2pt]0&3&1\\[2pt]4&0&5\end{pmatrix}).\n
(d) Não. \mathrm{T}(r,\theta)=(\sqrt{r},3\theta) não é linear (contraexemplo de homogeneidade: T(4\cdot(1,0))=(2,0)\neq 4\cdot T(1,0)=(4,0)).\n
(e) Para a transformação do item (c): \ker(T)=\{(0,0,0)\}; \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3; nulidade =0; ordem (posto) =3. A transformação é bijetora.]

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