a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}, \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x-y, 2 x+4 y-z, x+y+z)
d) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(\mathrm{r}, \operatorname{sen} \theta), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
a) Definir transformação linear e núcleo de transformação linear.\n
b) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{?}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z},\;\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{z}) é linear. (Observação: o enunciado diz \mathbb{R}^{2} como domínio mas a fórmula usa três coordenadas \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}; vou interpretar o domínio como \mathbb{R}^{3} porque há três variáveis.)\n
c) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(3x-y,\;2x+4y-z,\;x+y+z) é linear.\n
d) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\operatorname{sen}\theta), onde (r,\theta) são as coordenadas polares de (x,y), e \mathrm{T}(0)=0, é linear.\n
e) Para uma das transformações lineares acima (escolherei uma que seja linear), determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Indicar se essa transformação é bijetora.\n
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (com explicações didáticas):\n
Definição de transformação linear:\n
\text{Uma aplicação linear }T:V\to W\text{ entre espaços vetoriais satisfaz, para todos }u,v\in V\text{ e todo escalar }c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\qquad\text{(aditividade)}
T(cu)=c\,T(u)\qquad\text{(homogeneidade)}
Explicação: isso significa que T respeita soma e multiplicação por escalar. Na prática, para mapas entre \mathbb{R}^n costuma-se escrever T como multiplicação por uma matriz A: T(x)=Ax. Se existir tal matriz, T é linear (e recíproco também).\n
Definição de núcleo (kernel):\n
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
Explicação: o núcleo é o conjunto de vetores que o mapa manda para o vetor nulo. É um subespaço de V. A nulidade é \dim(\ker(T)).\n
Imagem e posto:\n
Como T é dada por T(v)=A v com A fixa, ela satisfaz linearidade: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar c,
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(cu)=A(cu)=c(Au)=cT(u).
Portanto T é linear.\n
(Comentário prático: sempre que uma transformação é expressa por combinações lineares das coordenadas com coeficientes constantes, dá para montar a matriz e concluir linearidade.)]
Como é dada por multiplicação pela matriz B, T é linear (mesma argumentação do passo anterior).\n
Agora, como essa matriz é quadrada 3\times3, podemos investigar invertibilidade (útil para a parte e)). Calculemos o determinante de B para saber se o núcleo é trivial:\n
Como \det(B)=18\neq 0, a matriz é invertível. Consequência: \ker(T)=\{0\} e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Portanto T é linear e bijetora.]
Passo 5
Verificação da transformação do item (d):\n
Dada
T(r,\theta)=(r,\operatorname{sen}\theta),
onde (r,\theta) são as coordenadas polares do vetor (x,y), e T(0)=0.\n
Intuição e método: para mostrar que T não é linear basta encontrar um contraexemplo à homogeneidade ou à aditividade.\n
Escolha um vetor com coordenadas polares (r,\theta)=(1,\tfrac{\pi}{2}). Esse vetor no plano é (x,y)=(0,1).\n
Calcule T(1,\tfrac{\pi}{2}):
Agora tome o escalar 2 e observe o vetor escalado 2\cdot (1,\tfrac{\pi}{2}). Em coordenadas polares (multiplicação por escalar positivo) é (2,\tfrac{\pi}{2}), que corresponde a (0,2) em cartesiano. Então
Como (2,1)\neq(2,2), a homogeneidade T(2v)=2T(v) falha. Logo T não é linear.\n
Observação didática: outro argumento conceptual é que T usa \operatorname{sen}\theta, dependência não linear do ângulo; linearidade exige combinações lineares das coordenadas x,y, e aqui a saída depende de \theta=\operatorname{atan2}(y,x) de maneira não linear. Além disso, multiplicação por escalar negativo modifica o ângulo em \pi, o que causa ainda mais problemas.
Passo 6
Escolha para (e) e cálculo detalhado (vou usar a transformação do item (c), que já mostrei ser linear e invertível):\n
Transformação escolhida:
Núcleo (\ker(T)):\n
Como \det(B)=18\neq 0, a matriz B é invertível. Uma matriz invertível tem apenas a solução trivial para Bv=0, portanto
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Imagem (\operatorname{Im}(T)):\n
Novamente pelo fato de B ser invertível e quadrada de ordem 3, a imagem é todo \mathbb{R}^3:
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
Nulidade e ordem (posto):\n
Nulidade =\dim(\ker(T))=0.\n
Ordem (posto) =\dim(\operatorname{Im}(T))=3.\n
Bijetividade:\n
Como \ker(T)=\{0\} e a imagem tem dimensão 3 igual à do domínio, T é injetora e sobrejetora; portanto T é bijetora.\n
Comentário prático: para mapas entre \mathbb{R}^n e \mathbb{R}^n, verificar \det\neq0 é o atalho mais rápido para concluir núcleo trivial, imagem total e bijetividade.]
Resposta
a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e todo escalar c, T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.\n
b) Linear (interpretando domínio como \mathbb{R}^{3}); matriz associada \begin{pmatrix}2&1&-1\\[4pt]1&-1&2\end{pmatrix}.\n
c) Linear; matriz associada \begin{pmatrix}3&-1&0\\[4pt]2&4&-1\\[4pt]1&1&1\end{pmatrix} com \det=18\neq0.\n
d) Não é linear (contraexemplo da homogeneidade: T(2\cdot(1,\tfrac{\pi}{2}))=(2,1)\neq(2,2)=2T(1,\tfrac{\pi}{2})).\n
e) (escolhi a transformação do item (c)) \ker(T)=\{(0,0,0)\}; \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3; nulidade =0; ordem (posto) =3; bijetora: sim.]