a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, 3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}, 2 \mathrm{x}+4 \mathrm{y})
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}, \theta+\frac{\pi}{2}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir o que é transformação linear e definir o núcleo de uma transformação linear.
  • (b) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{?}\to\mathbb{R}^{2}, dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(3\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z},\,2\mathrm{x}-3\mathrm{y}+4\mathrm{z}), é linear.
  • (c) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y},\,3\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{z},\,2\mathrm{x}+4\mathrm{y}), é linear.
  • (d) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=\bigl(r,\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr) (com \mathrm{T}(0)=0), é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem; e dizer se é bijetora.
Informações relevantes dadas:
  • Em (b) a fórmula usa três coordenadas (x,y,z) no argumento e produz um vetor em \mathbb{R}^2. Por isto eu interpreto o domínio como \mathbb{R}^3 (ou seja, \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2).
  • Em (c) o domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3; em (d) a transformação está dada em polares e foi dada a condição \mathrm{T}(0)=0.
  • Não há termos constantes (adições independentes de (x,y,z)) nas fórmulas de (b) e (c) além do ajuste em (d) que muda o ângulo.

Passo 2

Vou lembrar com calma o que significam as definições pedidas (pense nisso como uma aulinha curta, porque vai nos salvar na prova).
Definição de transformação linear:
  • Dizemos que uma função \mathrm{T} entre espaços vetoriais (aqui \mathbb{R}^n) é uma transformação linear quando ela preserva somas e multiplicações por escalares. Formalmente,
\mathrm{T} \text{ é linear se, para todos }u,v\text{ e todo escalar }c,é
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) \qquad\text{e}\qquad \mathrm{T}(c u)=c\,\mathrm{T}(u).
Essas duas propriedades bastam; às vezes se combina numa única condição:
\mathrm{T}(a u + b v) = a\,\mathrm{T}(u) + b\,\mathrm{T}(v)\quad\text{para todos }a,b\in\mathbb{R},\\ u,v.
Observação prática: se cada componente de \mathrm{T} é uma combinação linear das coordenadas de entrada (sem termos constantes), então \mathrm{T} é linear — porque somas e escalares passam pela combinação.
Definição de núcleo (kernel) de uma transformação linear:
  • O núcleo de \mathrm{T}, denotado \ker(\mathrm{T}), é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero:
\ker(\mathrm{T})=\{v\in \text{domínio} \mid \mathrm{T}(v)=0\}.í
É um subespaço do domínio. A nulidade (dimensão do núcleo) é \dim(\ker(\mathrm{T})). A imagem (ou alcance) é \mathrm{Im}(\mathrm{T})=\{\mathrm{T}(v)\mid v\text{ no domínio}\}í, outro subespaço; a dimensão da imagem é o posto (rank). A Teorema do posto-nulidade diz, para \mathrm{T}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker(\mathrm{T}))+\dim(\mathrm{Im}(\mathrm{T}))=n.

Passo 3

Verificação de linearidade para (b).
  • Interpretação: vou tratar \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com
\mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-z,\;2x-3y+4z).
  • Método direto: mostro que \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) e \mathrm{T}(c u)=c\mathrm{T}(u).
Seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Calculo \mathrm{T}(u+v):
\mathrm{T}(u+v)=\bigl(3(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-(z_1+z_2),\;2(x_1+x_2)-3(y_1+y_2)+4(z_1+z_2)\bigr).
Reagrupando somas:
\mathrm{T}(u+v)=\bigl((3x_1+y_1-z_1)+(3x_2+y_2-z_2),\;(2x_1-3y_1+4z_1)+(2x_2-3y_2+4z_2)\bigr).
Isto é exatamente \mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v). Para escalares, seja c\in\mathbb{R},
\mathrm{T}(c u)=\bigl(3(cx_1)+c y_1 - c z_1,\;2(cx_1)-3(c y_1)+4(c z_1)\bigr)=c\,\mathrm{T}(u).
Conclusão: (b) é uma transformação linear porque suas componentes são combinações lineares das entradas (sem termos constantes) e satisfazem as propriedades acima.

Passo 4

Verificação de linearidade para (c).
  • A transformação é \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+y,\;3x-y+2z,\;2x+4y).
  • Novamente, as três componentes são combinações lineares das coordenadas x,y,z (não há termos constantes). Logo ela preserva soma e multiplicação por escalar; se quiser ver de forma matricial, a matriz associada (na base canônica) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 0 \end{pmatrix},
e \mathrm{T}(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. Produto de matriz por vetor é linear por definição, portanto (c) é linear.]

Passo 5

Verificação de linearidade para (d).
  • A transformação é dada em coordenadas polares por
\mathrm{T}(r,\theta)=\bigl(r,\theta+\tfrac{\pi}{2}\bigr),
onde (r,\theta) são as coordenadas polares do vetor (x,y), e foi dada a condição \mathrm{T}(0)=0.
Queremos verificar linearidade quando tratamos \mathrm{T} como aplicação sobre vetores em \mathbb{R}^2. É mais prático converter para coordenadas cartesianas. Recordando:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
A imagem em coordenadas cartesianas é
\mathrm{T}(x,y) = \bigl(r\cos(\theta+\tfrac{\pi}{2}),\; r\sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Usando identidades trigonométricas \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin\theta e \sin(\theta+\tfrac{\pi}{2})=\cos\theta, obtemos
\mathrm{T}(x,y)=( -r\sin\theta,\; r\cos\theta).
Voltando a x,y:
-r\sin\theta = -y,\qquad r\cos\theta = x.
Portanto, para todo (x,y) temos
\mathrm{T}(x,y)=(-y,\;x).
Isto é uma transformação linear porque é dada por multiplicação pela matriz
R=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
que corresponde a uma rotação de 90^\circ no plano (no sentido anti-horário). Verificação direta: para quaisquer vetores u,v e escalar c,
\mathrm{T}(u+v)=R(u+v)=Ru+Rv=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v),\qquad \mathrm{T}(c u)=R(cu)=c(Ru)=c\,\mathrm{T}(u).
Além disso, a condição \mathrm{T}(0)=0 é compatível com linearidade.
Conclusão: (d) também é linear (é a rotação de \pi/2).]

Passo 6

Resumo das verificações de linearidade (resumindo como se fosse um gabarito rápido):
  • (b) é linear (interpretação \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2).
  • (c) é linear.
  • (d) é linear (equivalente a \mathrm{T}(x,y)=(-y,x)).

Passo 7

Agora respondo (e): escolho a transformação de (c) para calcular núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Justificativa: (c) tem domínio e contradomínio \mathbb{R}^3, então é agradável para analisar bijetividade.
Transformação de (c) em forma matricial (na base canônica):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{T}(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Vou achar o núcleo resolvendo A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Fazemos eliminação por linhas:
Começando com a matriz aumentada (apenas a parte de coeficientes, porque o lado direito é zero):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
Operações elementares:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 R_2=(0,-4,2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 R_3=(0,2,0).
Temos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Agora faço R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{1}{2}R_2 (ou seja, R_3 + 0{,}5R_2), então
R_3=(0,2,0)+0{,}5(0,-4,2)=(0,2,0)+(0,-2,1)=(0,0,1).
A matriz triangular obtida é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Isto dá as equações (para x,y,z):
  • Da terceira linha: 1\cdot z = 0 \Rightarrow z=0.
  • Da segunda linha: -4y + 2z = 0 \Rightarrow -4y + 0 = 0 \Rightarrow y=0.
  • Da primeira linha: x + y = 0 \Rightarrow x + 0 = 0 \Rightarrow x=0.
Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto
\ker(\mathrm{T})=\{(0,0,0)\}.
Isto implica que a nulidade (dimensão do núcleo) é
\dim(\ker(\mathrm{T}))=0.
Para a imagem: como a matriz A tem pivôs em todas as três colunas/linhas (na redução obtivemos três pivôs), o posto (rank) é 3. Assim
\dim(\mathrm{Im}(\mathrm{T}))=3.
Como a imagem é um subespaço de \mathbb{R}^3 com dimensão 3, concluímos que
\mathrm{Im}(\mathrm{T})=\mathbb{R}^3.
Aplicando o teorema posto-nulidade: 0 + 3 = 3, consistente com dimensão do domínio.
Bijetividade: uma aplicação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3 é bijetora se e somente se for injetora (ou equivalentemente se for sobrejetora). Como \ker(\mathrm{T})=\{0\}, \mathrm{T} é injetora. Como \dim(\mathrm{Im}(\mathrm{T}))=3, \mathrm{T} é sobrejetora. Portanto \mathrm{T} é bijetora.]

Resposta

(a) Definição: \mathrm{T} é transformação linear se, para todos u,v e escalares c,
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) \quad\text{e}\quad \mathrm{T}(c u)=c\,\mathrm{T}(u).
Núcleo: \ker(\mathrm{T})=\{v\mid \mathrm{T}(v)=0\}.
(b) \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\\ \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y-z,\;2x-3y+4z) é linear.
(c) \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\\ \mathrm{T}(x,y,z)=(x+y,\;3x-y+2z,\;2x+4y) é linear.
(d) \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\theta+\tfrac{\pi}{2}) (com \mathrm{T}(0)=0) é linear; em coordenadas cartesianas \mathrm{T}(x,y)=(-y,x), matriz \begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
(e) Para a transformação de (c):
ker (\mathrm{T})=\{(0,0,0)\}
Im (\mathrm{T})=\mathbb{R}^3
nulidade =\dim(\ker(\mathrm{T}))=0
ordem (posto) =\dim(\mathrm{Im}(\mathrm{T}))=3
é bijetora? Sim.]

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