a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x-y+z, 3 x+2 y, 2 x+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(5 \mathrm{r},-\theta), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (resumido, com os dados que o exercício fornece):
a) Pede-se: definir o que é uma transformação linear e o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
b) É dada a transformação T com fórmula mostrando três coordenadas de entrada e duas de saída: T(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+2\mathrm{z},\,2\mathrm{x}-3\mathrm{y}+\mathrm{z}). O enunciado escreveu T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, mas a fórmula usa três variáveis \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}. Vou assumir que a intenção correta é
d) É dada a transformação descrita em coordenadas polares: T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, T(r,\theta)=(5r,\,-\theta), onde (r,\theta) são as coordenadas polares do ponto (x,y); também é dada a condição T(0)=0. Aqui a saída está dada em coordenadas polares (isto é, o vetor imagem tem essas coordenadas).
e) Pede-se: para UMA das transformações lineares acima (ou seja, escolher uma que seja linear), determinar núcleo, imagem, nulidade (dimensão do núcleo) e ordem (interpretarei como posto/valor da imagem, isto é, a dimensão da imagem). Pergunta também se essa transformação escolhida é bijetora.
Observação: não há figuras. Se eu tiver assumido algo (por exemplo a correção em b)), já indiquei acima.
Passo 2
Definições didáticas e intuitivas (aulas curtas e práticas):
O que é uma transformação linear?
Uma transformação T entre espaços vetoriais (aqui entre \mathbb{R}^n e \mathbb{R}^m) é linear quando ela “respeita soma e multiplicação por escalar”. Formalmente, T é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha T(u).
Uma forma equivalente (mais prática para usar na prova) é a propriedade de combinação linear:
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)
para todos os escalares \alpha,\beta e vetores u,v. Essa condição única substitui as duas anteriores e é muito usada pois verifica linearidade em uma só passada.
Por que isso é intuitivo? Porque uma transformação linear transforma retas que passam pela origem em retas que passam pela origem e “não mistura” soma e escala de um jeito estranho — ela é sempre representável por uma matriz (quando domínio e contradomínio são \mathbb{R}^n).
O que é o núcleo (kernel) de T?
O núcleo de T, denotado \ker T, é o conjunto de vetores do domínio que passam para o vetor nulo do contradomínio:
\ker T=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
Geometricamente, é o subespaço composto dos vetores que a transformação “engancha” em zero. A nulidade (dimensão do núcleo) indica quantos graus de liberdade ficam “perdidos” pela transformação. Uma transformação linear é injetora se, e somente se, \ker T=\{0\}.
Passo 3
Verificação da transformação do item (b) (assumindo T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2):
Dados:
T(x,y,z)=(x+y+2z,\;2x-3y+z).
Observação prática: qualquer mapa cujas componentes são combinações lineares das coordenadas (coeficientes constantes multiplicando x,y,z e somando) é representável por multiplicação por matriz. Escrevemos a matriz A cujas linhas são os coeficientes das componentes:
Então para qualquer vetor coluna v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} temos T(v)=A v. Porque produto de matriz satisfaz A(u+v)=Au+Av e A(\alpha u)=\alpha Au, concluímos diretamente que T é linear.
Portanto, a transformação do item (b) (com domínio \mathbb{R}^3) é linear.]
Passo 4
Verificação da transformação do item (c):
Dados:
T(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y,\;2x+4z).
Também aqui cada componente é uma combinação linear das variáveis com coeficientes constantes. Escrevemos a matriz correspondente
de modo que T(v)=B v para v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. Como B é uma matriz com entradas constantes, a aplicação v\mapsto Bv satisfaz aditividade e homogeneidade (propriedades da multiplicação matricial). Logo T do item (c) é linear.]
Passo 5
Verificação da transformação do item (d) (descrita em coordenadas polares) — passo importante, explicar com calma:
Enunciado: para um ponto (x,y)\in\mathbb{R}^2 usamos suas coordenadas polares (r,\theta) onde
A transformação é dada por T(r,\theta)=(5r,\,-\theta), e T(0)=0. Aqui a saída está dada em coordenadas polares: o vetor imagem tem módulo 5r e ângulo -\theta. Para ver se T é linear, convém escrever a imagem em coordenadas cartesianas (x,y), porque linearidade é mais fácil de testar assim.
Se o vetor imagem tem coordenadas polares (5r,-\theta), suas coordenadas cartesianas são
\bigl(5r\cos(-\theta),\;5r\sin(-\theta)\bigr).
Usamos identidades trigonométricas \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta. Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta obtemos
Portanto, apesar da definição em polares, a transformação é simplesmente
T(x,y)=(5x,\,-5y).
Isto é uma transformação linear representada pela matriz diagonal
D=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix}.
Verificação rápida: T(0,0)=(0,0) (coerente com a condição T(0)=0) e T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) porque é multiplicação por matriz.
Conclusão: a transformação do item (d) também é linear.
Comentário amigável: às vezes uma definição que parece não linear (quando escrita em coordenadas “não-lineares” como polares) pode equivaler a uma transformação linear quando reescrita em coordenadas cartesianas — por isso é sempre bom converter e checar.]
Passo 6
Escolha de uma transformação linear para fazer os cálculos pedidos no item (e):
Vou escolher a transformação do item (d) (pela sua simplicidade depois de reescrita): T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com
T(x,y)=(5x,\,-5y).
Essa escolha é conveniente para calcular núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Poderia escolher (b) ou (c), mas (d) dá contas bem diretas que você poderá reproduzir na prova sem suar.
Passo 7
Cálculo do núcleo de T(x,y)=(5x,-5y):
Por definição, \ker T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid T(x,y)=(0,0)\}. Resolver:
T(x,y)=(5x,-5y)=(0,0)\quad\Longleftrightarrow\quad 5x=0\\ \text{ e }\\\ -5y=0.
Dividindo por 5 obtemos x=0 e y=0. Logo
\ker T=\{(0,0)\}.
Interpretação: só o vetor nulo vai para zero, então não se “perde” informação — essa transformação é injetiva.
Passo 8
Cálculo da imagem de T e do posto (ordem):
A matriz de T é
D=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix}.
As colunas são (5,0)^T e (0,-5)^T. O espaço gerado por essas colunas é
Como \ker T=\{0\}, a transformação é injetora. Como \operatorname{rank}(T)=2=\dim(\mathbb{R}^2), a imagem é todo o contradomínio, então T é sobrejetora. Injetora e sobrejetora juntas significam que T é bijetora. Outra forma rápida: a matriz D tem determinante \det(D)=5\cdot(-5)=-25\neq 0, o que indica que ela é invertível, portanto T é bijetora.
Força final: você já consegue ver que (b) e (c) eram lineares porque são dadas por combinações lineares; (d) parecia estranha em polares, mas virou uma matriz muito simples. Vai dar tudo certo na prova — faz essas transformações para ver padrões e decorar que “combinação linear constante = matriz”.
Resposta
(a) Uma transformação linear T:V\to W é uma aplicação que satisfaz, para todos u,v\in V e escalares \alpha,\beta,
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).
O núcleo (kernel) de T é \ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Sim, T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\;T(x,y,z)=(x+y+2z,\;2x-3y+z) é linear (matriz A=\begin{pmatrix}1&1&2\\[2pt]2&-3&1\end{pmatrix}).
(c) Sim, T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\;T(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y,\;2x+4z) é linear (matriz B=\begin{pmatrix}1&-1&1\\[2pt]3&2&0\\[2pt]2&0&4\end{pmatrix}).
(d) Sim, a definição em polares T(r,\theta)=(5r,-\theta) equivale em coordenadas cartesianas a
T(x,y)=(5x,-5y),
portanto T é linear (matriz D=\begin{pmatrix}5&0\\[2pt]0&-5\end{pmatrix}).
(e) Para a transformação escolhida (d): núcleo \ker T=\{(0,0)\}. Imagem \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Nulidade \dim(\ker T)=0. Ordem/posto \operatorname{rank}(T)=2. Essa transformação é bijetora.]