a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x-y, x+3 y-2 z, 4 x+y)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{2}, \frac{\theta}{2}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede várias coisas. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é requerido, para ficar tudo claro antes de resolver:
(a) Definir o que é transformação linear e o que é núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Analisar se a transformação T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada por T(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+2z), é linear. Observação: aqui o enunciado escreveu domínio \mathbb{R}^{2} mas o vetor tem três coordenadas (x,y,z). Há uma discrepância. Vou assumir que o domínio pretendido é \mathbb{R}^{3} (isto é, T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}), porque faz sentido com as coordenadas fornecidas.
(c) Analisar se a transformação T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, dada por T(x,y,z)=(2x-y,\;x+3y-2z,\;4x+y), é linear.
(d) Analisar se a transformação T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada em coordenadas polares por T(r,\theta)=(r^{2},\tfrac{\theta}{2}) (com T(0)=0), é linear.
(e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (rank). Dizer se essa transformação é bijetora. Vou escolher a transformação de (c) para detalhar núcleo/imagem/etc., porque é uma transformação de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} e costuma ser a escolha natural para discutir bijetividade.
Não há figuras ou tabelas. Seguirei com as definições e testes necessários para cada item.
Passo 2
Definição de transformação linear (aula curta e direta, do jeito que você precisa para a prova).
Uma aplicação T entre espaços vetoriais V e W (por exemplo V=\mathbb{R}^{n}, W=\mathbb{R}^{m}) é chamada de transformação linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
Intuitivamente: T preserva soma e multiplicação por escalares — é “compatível” com a estrutura linear.
Definição de núcleo (kernel) de uma transformação linear.
O núcleo (ou kernel) de T é o conjunto de vetores de V que são enviados para o vetor zero em W. Em símbolos:
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
O núcleo é sempre um subespaço de V. A dimensão do núcleo chama-se nulidade (nullity). A dimensão da imagem chama-se posto (rank). O teorema posto-nulidade diz que, para T\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m},
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=n.
Passo 3
Como testar se uma transformação dada por fórmulas coordenada a coordenada é linear (método prático e rápido).
Se T é dada por coordenadas lineares (cada coordenada de T(x) é combinação linear das coordenadas de x sem termos independentes), então T é linear. Em outras palavras, se cada componente de T(x) é soma de coeficientes vezes as variáveis (ex.: ax+by+cz) e não há termos quadráticos, produtos entre variáveis, nem constantes, então a transformação é linear.
Formalmente, uma maneira padrão de testar é verificar as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) para vetores genéricos u e v, ou verificar que T é representável por multiplicação à esquerda por uma matriz A (isto é, T(x)=Ax). Se existe uma matriz A tal que T(x)=Ax para todo x, então T é linear. Isso é geralmente o mais prático em exercícios.
Vou aplicar esse critério a cada item.
Passo 4
Análise do item (b).
Admitindo que o domínio é \mathbb{R}^{3}, a transformação é
T(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+2z).
Observe que cada componente é uma combinação linear das variáveis x,y,z (não há produtos entre variáveis nem termos quadráticos nem constantes). Portanto existe uma matriz B\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R}) tal que
Conclusão: T (com domínio \mathbb{R}^{3}) é uma transformação linear, porque é dada por multiplicação por uma matriz.]
Passo 5
Análise do item (c).
A transformação é
T(x,y,z)=(2x-y,\;x+3y-2z,\;4x+y).
Cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z (novamente, sem termos não lineares). Assim existe uma matriz A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R}) tal que
Lembre: coordenadas polares representam o vetor (x,y) como x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Uma transformação linear L em \mathbb{R}^{2} deve satisfazer L(\alpha v)=\alpha L(v) para todo \alpha\in\mathbb{R}. Vou dar um contraexemplo simples para mostrar que T não satisfaz homogeneidade.
Considere o vetor v=(1,0) em coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares, tem r=1,\theta=0. Assim
T(v)=T(1,0)=(1^{2},0/2)=(1,0).
Agora escale v por \alpha=2. O vetor 2v=(2,0) tem coordenadas polares r=2,\theta=0, logo
T(2v)=T(2,0)=(2^{2},0/2)=(4,0).
Se T fosse linear, deveríamos ter T(2v)=2T(v)=2(1,0)=(2,0). Mas T(2v)=(4,0)\neq(2,0). Portanto a homogeneidade falha e T não é linear.
Além disso, o componente r^{2} é claramente não linear (é quadrático em r), e a transformação que mexe com \theta por divisão também não corresponde a uma multiplicação por matriz nas coordenadas cartesianas (pois ângulo não é função linear das coordenadas cartesianas). Conclusão: não é linear.
Passo 7
Agora volto à transformação linear escolhida para o item (e) — vou trabalhar com a transformação de (c):
Agora a matriz está triangular superior com entradas pivot não nulas nas três colunas; portanto o sistema homogêneo só tem a solução trivial x=y=z=0.
Conclusão: \ker(T)=\{(0,0,0)\}. Em outras palavras, a nulidade (dimensão do núcleo) é 0.
(2) Cálculo do posto (ordem) e da imagem.
Como na eliminação obtivemos três pivôs (nenhuma linha nula), a matriz A tem posto 3. Ou alternativamente podemos observar que o determinante de A é diferente de zero; calculo rápido:
Determinante não nulo confirma que o posto de A é 3.
Como o posto é 3 e o espaço de chegada é \mathbb{R}^{3}, a imagem \operatorname{Im}(T) tem dimensão 3, logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}. Uma base para \operatorname{Im}(T) são as colunas da matriz A, mas como o posto é 3 e \dim\mathbb{R}^{3}=3, qualquer base padrão serve; em particular as colunas de A formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
(3) Nulidade e ordem (posto) e bijetividade.
Nulidade =\dim(\ker T)=0.
Ordem (posto) =\dim(\operatorname{Im}T)=3.
Como a transformação é linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} e o núcleo é apenas o vetor zero, T é injetora. Como o posto é 3 (igual à dimensão do espaço de chegada), T é sobrejetora. Injetora + sobrejetora implica que T é bijetora. Outra maneira: determinante de A é \,12\neq0, então A é invertível e T tem inversa linear, logo é bijetora.]
Passo 8
Resumo final dos resultados no formato que você pediu (respostas diretas, prontas para conferência). Vou colocar cada item final de forma curta e clara.
Resposta
(a) Transformação linear: uma aplicação T\colon V\to W que satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) para todo u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}. Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Sim, é linear (assumindo domínio \mathbb{R}^{3}); pode ser escrita por multiplicação por matriz \begin{pmatrix}1&2&-1\\[4pt]3&1&2\end{pmatrix}.
(c) Sim, é linear; matriz A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\[4pt]1&3&-2\\[4pt]4&1&0\end{pmatrix}.
(d) Não, não é linear (contraexemplo: T(2(1,0))=(4,0)\neq 2T(1,0)=(2,0)).
(e) Para a transformação do item (c):
ker(T)=\{(0,0,0)\} \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}
nulidade =0
ordem (posto) =3
é bijetora: Sim (a matriz tem determinante 12\neq0, logo é invertível).]