a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x-y, x+3 y-2 z, 4 x+y)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{2}, \frac{\theta}{2}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é requerido, para ficar tudo claro antes de resolver:
  • (a) Definir o que é transformação linear e o que é núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • (b) Analisar se a transformação T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada por T(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+2z), é linear. Observação: aqui o enunciado escreveu domínio \mathbb{R}^{2} mas o vetor tem três coordenadas (x,y,z). Há uma discrepância. Vou assumir que o domínio pretendido é \mathbb{R}^{3} (isto é, T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}), porque faz sentido com as coordenadas fornecidas.
  • (c) Analisar se a transformação T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, dada por T(x,y,z)=(2x-y,\;x+3y-2z,\;4x+y), é linear.
  • (d) Analisar se a transformação T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada em coordenadas polares por T(r,\theta)=(r^{2},\tfrac{\theta}{2}) (com T(0)=0), é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (rank). Dizer se essa transformação é bijetora. Vou escolher a transformação de (c) para detalhar núcleo/imagem/etc., porque é uma transformação de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} e costuma ser a escolha natural para discutir bijetividade.
Não há figuras ou tabelas. Seguirei com as definições e testes necessários para cada item.

Passo 2

Definição de transformação linear (aula curta e direta, do jeito que você precisa para a prova).
  • Uma aplicação T entre espaços vetoriais V e W (por exemplo V=\mathbb{R}^{n}, W=\mathbb{R}^{m}) é chamada de transformação linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(i) aditividade: } T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(ii) homogeneidade: } T(\alpha u)=\alpha T(u).
  • Intuitivamente: T preserva soma e multiplicação por escalares — é “compatível” com a estrutura linear.
Definição de núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • O núcleo (ou kernel) de T é o conjunto de vetores de V que são enviados para o vetor zero em W. Em símbolos:
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
  • O núcleo é sempre um subespaço de V. A dimensão do núcleo chama-se nulidade (nullity). A dimensão da imagem chama-se posto (rank). O teorema posto-nulidade diz que, para T\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m},
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=n.

Passo 3

Como testar se uma transformação dada por fórmulas coordenada a coordenada é linear (método prático e rápido).
  • Se T é dada por coordenadas lineares (cada coordenada de T(x) é combinação linear das coordenadas de x sem termos independentes), então T é linear. Em outras palavras, se cada componente de T(x) é soma de coeficientes vezes as variáveis (ex.: ax+by+cz) e não há termos quadráticos, produtos entre variáveis, nem constantes, então a transformação é linear.
  • Formalmente, uma maneira padrão de testar é verificar as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) para vetores genéricos u e v, ou verificar que T é representável por multiplicação à esquerda por uma matriz A (isto é, T(x)=Ax). Se existe uma matriz A tal que T(x)=Ax para todo x, então T é linear. Isso é geralmente o mais prático em exercícios.
Vou aplicar esse critério a cada item.

Passo 4

Análise do item (b).
  • Admitindo que o domínio é \mathbb{R}^{3}, a transformação é
T(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+2z).
  • Observe que cada componente é uma combinação linear das variáveis x,y,z (não há produtos entre variáveis nem termos quadráticos nem constantes). Portanto existe uma matriz B\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R}) tal que
B=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 3 & 1 & 2\end{pmatrix}, \quad\text{e}\quad T(x,y,z)=B\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix}.
  • Conclusão: T (com domínio \mathbb{R}^{3}) é uma transformação linear, porque é dada por multiplicação por uma matriz.]

Passo 5

Análise do item (c).
  • A transformação é
T(x,y,z)=(2x-y,\;x+3y-2z,\;4x+y).
  • Cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z (novamente, sem termos não lineares). Assim existe uma matriz A\in\mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R}) tal que
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\[4pt] 1 & 3 & -2 \\[4pt] 4 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad\text{e}\quad T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix}.
  • Conclusão: T é transformação linear.]

Passo 6

Análise do item (d) — por que não é linear (contraponto claro com exemplos).
  • A transformação está dada em coordenadas polares por
T(r,\theta)=\bigl(r^{2},\tfrac{\theta}{2}\bigr),\qquad T(0)=0.
  • Lembre: coordenadas polares representam o vetor (x,y) como x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Uma transformação linear L em \mathbb{R}^{2} deve satisfazer L(\alpha v)=\alpha L(v) para todo \alpha\in\mathbb{R}. Vou dar um contraexemplo simples para mostrar que T não satisfaz homogeneidade.
  • Considere o vetor v=(1,0) em coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares, tem r=1,\theta=0. Assim
T(v)=T(1,0)=(1^{2},0/2)=(1,0).
  • Agora escale v por \alpha=2. O vetor 2v=(2,0) tem coordenadas polares r=2,\theta=0, logo
T(2v)=T(2,0)=(2^{2},0/2)=(4,0).
  • Se T fosse linear, deveríamos ter T(2v)=2T(v)=2(1,0)=(2,0). Mas T(2v)=(4,0)\neq(2,0). Portanto a homogeneidade falha e T não é linear.
  • Além disso, o componente r^{2} é claramente não linear (é quadrático em r), e a transformação que mexe com \theta por divisão também não corresponde a uma multiplicação por matriz nas coordenadas cartesianas (pois ângulo não é função linear das coordenadas cartesianas). Conclusão: não é linear.

Passo 7

Agora volto à transformação linear escolhida para o item (e) — vou trabalhar com a transformação de (c):
T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y,z)=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\[4pt] 1 & 3 & -2 \\[4pt] 4 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix}.
Quero encontrar [\ker(T)), \operatorname{Im}(T), nulidade e ordem (posto), e verificar bijetividade. Vou fazer passo a passo.
(1) Cálculo do núcleo \ker(T). Resolver A\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix}=0.
Escrevendo o sistema linear:
\begin{cases} 2x-y+0\cdot z=0,\\[4pt] x+3y-2z=0,\\[4pt] 4x+y+0\cdot z=0. \end{cases}
Faço eliminação por linhas (mostro os passos para você poder reproduzir na prova).
Matriz aumentada (somente a matriz de coeficientes, o lado direito é zero):
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 3 & -2\\[4pt] 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Troco de estratégia: uso operações para triangularizar. Primeiro uso a linha 1 como pivô:
    R2 := R2 - (1/2)R1,
    R3 := R3 - 2R1.
Calculando:
\text{R1}=(2,\,-1,\,0),
\text{R2}'=\bigl(1-\tfrac12\cdot 2,\;3-\tfrac12\cdot(-1),\;-2-\tfrac12\cdot 0\bigr)=(0,\; \tfrac{7}{2},\;-2),
\text{R3}'=\bigl(4-2\cdot 2,\;1-2\cdot(-1),\;0-2\cdot 0\bigr)=(0,\;3,\;0).
Agora tenho
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{7}{2} & -2\\[4pt] 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
  • Elimino o elemento 3\] em R3 usando R2: fator \(=\dfrac{3}{7/2}=\dfrac{6}{7}. Faço R3 := R3 - \dfrac{6}{7}R2:
\text{R3}''=\bigl(0,\;3-\tfrac{6}{7}\cdot\tfrac{7}{2},\;0-\tfrac{6}{7}\cdot(-2)\bigr)=(0,\;0,\;\tfrac{12}{7}).
  • Agora a matriz está triangular superior com entradas pivot não nulas nas três colunas; portanto o sistema homogêneo só tem a solução trivial x=y=z=0.
Conclusão: \ker(T)=\{(0,0,0)\}. Em outras palavras, a nulidade (dimensão do núcleo) é 0.
(2) Cálculo do posto (ordem) e da imagem.
  • Como na eliminação obtivemos três pivôs (nenhuma linha nula), a matriz A tem posto 3. Ou alternativamente podemos observar que o determinante de A é diferente de zero; calculo rápido:
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 4 & 0\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=3\cdot 0-(-2)\cdot 1=2,
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 4 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0-(-2)\cdot 4=8.
Logo
\det(A)=2\cdot 2 -(-1)\cdot 8 =4+8=12\neq 0.
Determinante não nulo confirma que o posto de A é 3.
  • Como o posto é 3 e o espaço de chegada é \mathbb{R}^{3}, a imagem \operatorname{Im}(T) tem dimensão 3, logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}. Uma base para \operatorname{Im}(T) são as colunas da matriz A, mas como o posto é 3 e \dim\mathbb{R}^{3}=3, qualquer base padrão serve; em particular as colunas de A formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
(3) Nulidade e ordem (posto) e bijetividade.
  • Nulidade =\dim(\ker T)=0.
  • Ordem (posto) =\dim(\operatorname{Im}T)=3.
  • Como a transformação é linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} e o núcleo é apenas o vetor zero, T é injetora. Como o posto é 3 (igual à dimensão do espaço de chegada), T é sobrejetora. Injetora + sobrejetora implica que T é bijetora. Outra maneira: determinante de A é \,12\neq0, então A é invertível e T tem inversa linear, logo é bijetora.]

Passo 8

Resumo final dos resultados no formato que você pediu (respostas diretas, prontas para conferência). Vou colocar cada item final de forma curta e clara.

Resposta

(a) Transformação linear: uma aplicação T\colon V\to W que satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) para todo u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}. Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Sim, é linear (assumindo domínio \mathbb{R}^{3}); pode ser escrita por multiplicação por matriz \begin{pmatrix}1&2&-1\\[4pt]3&1&2\end{pmatrix}.
(c) Sim, é linear; matriz A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\[4pt]1&3&-2\\[4pt]4&1&0\end{pmatrix}.
(d) Não, não é linear (contraexemplo: T(2(1,0))=(4,0)\neq 2T(1,0)=(2,0)).
(e) Para a transformação do item (c):
ker (T)=\{(0,0,0)\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}
nulidade =0
ordem (posto) =3
é bijetora: Sim (a matriz tem determinante 12\neq0, logo é invertível).]

Exercícios relacionados