a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}+4 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x+y, 4 x-3 y+2 z, x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(\mathrm{r},|\theta|), onde ( \mathrm{r}, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede:
(a) Definir o que é transformação linear e o que é núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+4z) é linear. (Observação: o enunciado dá três coordenadas na expressão da imagem, então vou assumir que a intenção correta é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}. Vou usar essa hipótese.)
(c) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(x,y,z)=(2x+y,\;4x-3y+2z,\;x+z) é linear.
(d) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(r,\theta)=(r,|\theta|) (onde (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y) e \mathrm{T}(0)=0) é linear.
(e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e posto (interpreto “ordem” como posto). Dizer se essa transformação é bijetora.
Informações dadas que usarei:
Expressões explícitas de \mathrm{T} em (b), (c) e (d).
Assumo em (b) que o domínio real é \mathbb{R}^{3} porque a fórmula usa três variáveis.
Passo 2
Definições (didática): o que é transformação linear e núcleo.
Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades:T(u+v)=T(u)+T(v)eT(\alpha u)=\alpha\,T(u).Aqui u e v são vetores (por exemplo u=(x_1,y_1,\dots)), e \alpha é um número real. Essas duas propriedades juntas significam que T preserva somas e multiplicações escalares — ou seja, preserva a estrutura linear.
Definição de núcleo (kernel): o núcleo de T, denotado \ker(T), é o conjunto de vetores do domínio que são levados ao vetor nulo no contradomínio:\ker(T)=\{v \mid T(v)=0\}.O núcleo mede “o que some” pela transformação; é sempre um subespaço do domínio.
Explicação rápida de teste em prova: para mostrar que T é linear normalmente você pode (1) exibir uma matriz A tal que T(v)=A v (então é linear), ou (2) verificar diretamente as duas propriedades acima com álgebra. Para negar linearidade basta encontrar um contraexemplo que viole uma das propriedades (por exemplo homogeneidade com um escalar ou aditividade com dois vetores).
Passo 3
Critério prático: representação matricial.
Se a expressão de T é composta por combinações lineares das coordenadas com coeficientes fixos (sem termos constantes independentes das variáveis, sem funções não lineares como |\cdot|, \sin, produtos entre coordenadas, etc.), então existe uma matriz A tal que T(v)=A v e T é linear.
Em coordenadas: se v=(x,y,z)^\top e T(v)=(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z,\;a_{21}x+\cdots,\;\dots)^\top, então A=(a_{ij}) e T(v)=A v.
Vou aplicar isso aos itens (b) e (c). Para (d) usarei um contraexemplo direto porque há a função |\theta|, não linear.
Passo 4
Item (b): verificar linearidade de \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+4z).
Escrevo v=(x,y,z)^\top. A aplicação pode ser escrita como produto matricial \mathrm{T}(v)=A v, comA=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 3 & 1 & 4\end{pmatrix}.
Como cada componente de \mathrm{T} é uma combinação linear das coordenadas com coeficientes constantes, existe essa matriz A, logo \mathrm{T} é linear. Para reforçar: para quaisquer u,v e escalar \alpha temosT(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v)eT(\alpha u)=A(\alpha u)=\alpha (Au)=\alpha T(u),então as duas propriedades são satisfeitas. Portanto (b) é transformação linear.]
Passo 5
Item (c): verificar linearidade de \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(x,y,z)=(2x+y,\;4x-3y+2z,\;x+z).
Cada componente é combinação linear das coordenadas com coeficientes fixos, logo T é linear pelo mesmo raciocínio matricial dado antes. Portanto (c) é transformação linear.]
Passo 6
Item (d): verificar linearidade de \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(r,\theta)=(r,|\theta|) em coordenadas polares, com \mathrm{T}(0)=0.
Observação: (r,\theta) denota as coordenadas polares de (x,y), isto é x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta com r\ge 0.
Para testar linearidade basta um contraexemplo à homogeneidade. Tomemos o vetor v=(1,0) no plano cartesiano. Suas coordenadas polares são (r,\theta)=(1,0). Então por definição \mathrm{T}(v)=(1,0).
Considere o escalar \alpha=-1. O vetor -v=(-1,0) tem coordenadas polares (r,\theta)=(1,\pi) (porque (-1,0)=1\cdot(\cos\pi,\sin\pi)). Então\mathrm{T}(-v)=(1,|\pi|)=(1,\pi).Se T fosse linear deveríamos ter \mathrm{T}(-v)=-\mathrm{T}(v). Mas-\mathrm{T}(v)=-(1,0)=(-1,0),que é diferente de (1,\pi). Assim a homogeneidade falha e T não é linear.
Intuição: a operação |\theta| quebra a propriedade de escala e soma — ângulo absoluto não se comporta linearmente quando multiplicamos vetores por escalares negativos nem ao somar vetores com ângulos diferentes. Logo (d) não é transformação linear.
Passo 7
Item (e): escolho a transformação de (c) para analisar núcleo, imagem, nulidade e posto — motivos: é uma transformação de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3} representada por uma matriz quadrada B, o que facilita verificar bijetividade (invertibilidade).
Primeiro calculo o determinante para saber se B é invertível (determinante diferente de zero implica núcleo trivial e posto 3).
Calculo:\det(B)=2\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).Agora os dois menores:\det\begin{pmatrix}-3 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=(-3)\cdot 1 - 2\cdot 0 = -3,
(b) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+4z) é linear.
(c) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(2x+y,\;4x-3y+2z,\;x+z) é linear.
(d) \mathrm{T}(r,\theta)=(r,|\theta|) não é linear.
(e) Para a transformação de (c): \ker(T)=\{0\};\quad \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3};\quad \text{nulidade}=0;\quad \text{posto}=3;\quad é bijetora.