a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}, \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+y, 2 x+3 z, 4 x-y+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(\mathrm{r}, \tan \theta), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar exatamente cada pergunta e os dados fornecidos:
  • (a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • (b) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{?}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(3x-y+2z,\;x+4y-z) é linear. Observação: o enunciado escrevia \mathbb{R}^2 como domínio mas a fórmula usa três coordenadas (x,y,z); por isso vou tomar o domínio como \mathbb{R}^3.
  • (c) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+y,\;2x+3z,\;4x-y+z) é linear.
  • (d) Decidir se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\tan\theta), onde (r,\theta) são as coordenadas polares de (x,y) e \mathrm{T}(0)=0, é linear.
  • (e) Para UMA das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto/rank). Dizer se a transformação escolhida é bijetora.
Terminei de listar o que é pedido e os dados fornecidos — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

O que é uma transformação linear e o que é núcleo — explicação didática e prática (aulas rápidas para a prova).
  • Definição (conceito direto): uma aplicação T: V\to W entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo (aqui \mathbb{R}) é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades: \text{(adicidade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v)
\text{(homogeneidade)}\quad T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas propriedades juntas são o que chamamos de linearidade. Não pode haver termo constante (como +1) nem funções não-lineares (como \sin, \tan de um ângulo) nas fórmulas.
  • Interpretação concreta: uma transformação linear preserva soma de vetores e multiplicação por número real. Geometricamente, linhas passam em linhas (ou na origem), e a imagem do vetor nulo é o vetor nulo.
  • Núcleo (kernel): o núcleo de T é o conjunto de vetores de V que são enviados para o vetor zero em W. Em notação:
    \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
    O núcleo é um subespaço de V. Se \ker(T)=\{0\} então T é injetora (não colapsa vetores diferentes no mesmo); caso contrário a nulidade é a dimensão do núcleo.
  • Nulidade e posto (rank): nulidade =\dim(\ker(T)). O posto (ou ordem) é \dim(\operatorname{Im}T), dimensão da imagem. Teorema fundamental (no caso de transformações entre espaços finito-dimensionais): dimensão do domínio = nulidade + posto.
  • Como testar na prova (receita prática):
    1. Se as coordenadas de T são combinações lineares das entradas (ou seja, cada componente é soma de coeficientes constantes vezes coord.), então T é linear — equivalently existe uma matriz A com T(v)=A v.
    2. Para refutar linearidade, basta encontrar um contraexemplo: mostrar um v e escalar \alpha tal que T(\alpha v)\neq \alpha T(v) ou dois vetores u,v com T(u+v)\neq T(u)+T(v).

Passo 3

Análise do item (b). Primeiro reescrevo a transformação com domínio \mathbb{R}^3:
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(3x-y+2z,\;x+4y-z).
  • Observação prática: cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z com coeficientes constantes (não há termos independentes, nem funções não-lineares). Então já é um forte indício de linearidade.
  • Mostro formalmente (propriedades): seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3. Então
    T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
    Calculo a primeira componente:
    3(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)= (3x_1-y_1+2z_1)+(3x_2-y_2+2z_2),
    e a segunda componente:
    (x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-(z_1+z_2)=(x_1+4y_1-z_1)+(x_2+4y_2-z_2).
    Isso mostra T(u+v)=T(u)+T(v). Para homogeneidade, seja \alpha\in\mathbb{R}:
    T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)=(3\alpha x_1-\alpha y_1+2\alpha z_1,\;\alpha x_1+4\alpha y_1-\alpha z_1)=\alpha T(u).
    Portanto T satisfaz ambas propriedades e é linear.
  • Forma matricial (útil na prova): escrevo T(v)=A v com
    A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 4 & -1\end{pmatrix},
    pois A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-y+2z\\\ x+4y-z\end{pmatrix}. Toda transformação dada por multiplicação por matriz (sem termos constantes) é linear.]

Passo 4

Análise do item (c). A transformação é
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z)=(x+y,\;2x+3z,\;4x-y+z).
  • Verificação direta: cada componente é combinação linear das entradas x,y,z (coeficientes constantes). Assim segue a mesma receita: para u,v e escalar \alpha verificam-se adicidade e homogeneidade por expandir as somas como em (b). Portanto T é linear.
  • Forma matricial:
    A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3\\[4pt] 4 & -1 & 1\end{pmatrix},
    e T(v)=A v.]

Passo 5

Análise do item (d). A transformação é dada em coordenadas polares:
T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(r,\theta)=(r,\tan\theta),
onde (r,\theta) são as coordenadas polares do ponto (x,y) e T(0)=0.
  • Importante: em problemas de linearidade a adição e multiplicação por escalares referem-se à estrutura vetorial padrão de \mathbb{R}^2 (soma de coordenadas cartesianas e multiplicação por escalar), não à soma “por componentes polares” (pois coordenadas polares não somam simplesmente em (r,\theta)). Então devemos testar linearidade em termos do comportamento quando duplicamos um vetor em \mathbb{R}^2.
  • Contraexemplo simples (fábrica de contraexemplos): escolha um vetor que tenha ângulo \theta=\pi/4 e raio r=1. Em coordenadas polares: v=(1,\pi/4). Então
    T(v)=(1,\tan(\pi/4))=(1,1).
    Agora considere o escalar \alpha=2 e o vetor 2v (isto é, o vetor v dobrado em \mathbb{R}^2); o dobro de um vetor com \theta=\pi/4 tem coordenadas polares (2,\pi/4) (ângulo preservado, raio dobrado). Então
    T(2v)=(2,\tan(\pi/4))=(2,1).
    Se T fosse linear deveríamos ter T(2v)=2T(v)=2(1,1)=(2,2). Mas T(2v)=(2,1)\neq(2,2). Logo fica provado que T não é linear.
  • Observações extras: além disso, \tan\theta não é linear em (x,y) (é uma razão \tan\theta=y/x quando x\neq0), e \tan ainda é indefinido em certos ângulos; tudo isso reforça que T não pode ser transformação linear em \mathbb{R}^2.

Passo 6

Escolha de qual transformação linear estudar em (e) e justificativa do método.
  • Vou escolher a transformação do item (c) para calcular núcleo, imagem, nulidade e ordem. Justificativa: é uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por uma matriz quadrada 3\times3; para essas transformações podemos usar cálculo de determinante para testar invertibilidade (o que determina imediatamente núcleo trivial e posto máximo), e isso é prático na prova sem longos sistemas lineares. A outra linear (item b) é retangular 2\times3, dava para fazer mas o caso quadrado é mais direto para mostrar bijetividade se o determinante for não nulo.

Passo 7

Calcular núcleo, imagem, nulidade e posto para a transformação (c).
  • Reescrever a matriz associada:
    A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3\\[4pt] 4 & -1 & 1\end{pmatrix}, \qquad T(v)=A v.
  • Verificar se A é invertível calculando o determinante. Faço o cálculo por expansão na primeira linha (passo a passo):
    \det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
    Calculo os menores:
    \det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-3\cdot(-1)=3,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-3\cdot4=2-12=-10.
Assim
\det(A)=1\cdot 3 -1\cdot(-10)=3+10=13.
Como \det(A)=13\neq 0, a matriz é invertível.
  • Consequências imediatas (teorema): se A é invertível então T é bijetora, o núcleo é apenas o vetor nulo, a imagem é todo \mathbb{R}^3 e o posto é 3.
  • Escrevendo os itens pedindo em (e):
    • Núcleo: \ker(T)=\{0\}.
    • Imagem: \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
    • Nulidade: \dim(\ker(T))=0.
    • Ordem (posto): \dim(\operatorname{Im}(T))=3.
    • Bijetividade: sim, T é bijetora (injetora e sobrejetora), pois A é invertível.]

Resposta

a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
b) Sim, a transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, T(x,y,z)=(3x-y+2z,\;x+4y-z) é linear.
c) Sim, a transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, T(x,y,z)=(x+y,\;2x+3z,\;4x-y+z) é linear.
d) Não, a transformação T dada por T(r,\theta)=(r,\tan\theta) não é linear (contraex.: T(2v)\neq 2T(v) para v com \theta=\pi/4).
e) Para a transformação do item (c):
\ker(T)=\{0\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3
nulidade =0
ordem (posto) =3
é bijetora: sim.

Exercícios relacionados