a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z}, 4 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+2 y-z, 2 x+y, 3 x+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{2},-2 \theta\right), onde ( \mathrm{r}, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede várias coisas. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que é pedido:
(a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+2z,\;4x+y-z), é linear. Observação: o enunciado escreveu \mathbb{R}^{2} mas a entrada tem três coordenadas (x,y,z); vou assumir que houve um erro tipográfico e que a transformação tem domínio \mathbb{R}^{3}, isto é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}.
(c) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x+y,\;3x+4z), é linear.
(d) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(r^{2},\,-2\theta) (e \mathrm{T}(0)=0), é linear.
(e) Escolher uma das transformações lineares anteriores e, para ela, determinar núcleo, imagem, nulidade (dimensão do núcleo) e ordem (vou entender “ordem” aqui como posto/ranque, i.e. dimensão da imagem). Pergunta final: essa transformação é bijetora?
Isso encerra a identificação dos dados e do que é pedido.
Passo 2
Vou lembrar e explicar devagar o que significam as definições pedidas (a), com exemplos bem simples para você fixar.
Definição de transformação linear:
Uma função T entre espaços vetoriais (aqui entre \mathbb{R}^{n} e \mathbb{R}^{m}) é chamada linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar c, valem as duas propriedades:T(u+v)=T(u)+T(v)
T(cu)=c\,T(u).
Intuição: uma transformação linear preserva soma e multiplicação por escalar. Outra forma prática de verificar linearidade é ver se cada componente de T é uma combinação linear das coordenadas (isto é, soma de termos do tipo constante vezes uma coordenada) sem termos constantes independentes. Se houver termos constantes (não dependentes das entradas) ou produtos entre coordenadas (como xy ou r^2), normalmente não é linear.
Exemplo simples: a função T(x,y)=(2x-3y,\;x+y) é linear porque cada componente é combinação linear de x e y. Já S(x,y)=(x+1,y) não é linear por causa do +1.
Definição de núcleo (kernel):
O núcleo de T é o conjunto de vetores do domínio que T manda para o vetor nulo do contradomínio:\ker(T)=\{v\in\text{domínio} \mid T(v)=0\}.
A nulidade (nullity) é a dimensão do núcleo: \dim(\ker(T)).
Relação fundamental (Teorema do Núcleo e Imagem / Teorema da Dimensão): para T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m},\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.Ou seja, nullidade + rank = dimensão do domínio. Isso é muito útil para checar consistência dos cálculos.
Passo 3
Primeiro, corrijo/domínio: vou tratar \mathrm{T}\) como \(\mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}\) com
\[\mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+2z,\;4x+y-z).
Verificando linearidade:
Cada componente é soma de múltiplos das coordenadas x,y,z sem termos constantes e sem produtos não-lineares. Logo essa forma sugere uma transformação linear.
Podemos escrever T por multiplicação por uma matriz A (isso é padrão: toda transformação linear \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} pode ser representada por uma matriz m\times n):A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\[4pt]4 & 1 & -1\end{pmatrix},e para v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} temos T(v)=A v.
Como produto de matriz por vetor satisfaz A(u+v)=Au+Av e A(cu)=cAu, T é linear.
Núcleo de T: resolver A v=0. Escrevendo o sistema:
\begin{cases} x - y + 2z = 0,\\[4pt] 4x + y - z = 0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo:
Da primeira equação: x = y - 2z\].
- Substituo na segunda: \(4(y-2z)+y-z=0 \Rightarrow 4y-8z+y-z=0 \Rightarrow 5y-9z=0.
- Assim y=\dfrac{9}{5}z. Tomando z=t como parâmetro livre, obtemos y=\dfrac{9}{5}t e x=\dfrac{9}{5}t-2t=-\dfrac{1}{5}t.
- Para evitar frações ao dar um gerador, escolha t=5s. Então os vetores do núcleo sãov=s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]9\\[4pt]5\end{pmatrix},\quad s\in\mathbb{R}.
Portanto\ker(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1\\\ 9\\\ 5\end{pmatrix}\right\},e a nulidade é \dim(\ker(T))=1.
Imagem e posto:
A matriz A é 2\times3. Seus dois vetores linha (1,-1,2) e (4,1,-1) não são múltiplos um do outro, então as linhas são linearmente independentes. Assim o posto (rank) é 2.
Como a imagem é um subespaço de \mathbb{R}^{2} de dimensão 2, concluímos que \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}. Logo T é sobrejetora.
Pelo teorema dimensão: \mathrm{nullity}+\mathrm{rank}=3\Rightarrow 1+2=3, consistente.
Injetividade / bijetividade:
Como \ker(T) contém vetores não nulos (nulidade 1), T não é injetora. Como não é injetora, não é bijetora (apesar de ser sobrejetora).]
Passo 4
Considere \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}\) com
\[\mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x+y,\;3x+4z).
Verificando linearidade:
Novamente cada componente é combinação linear de x,y,z sem termos constantes, então é (à primeira vista) linear.
Escrevendo em matriz:A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]3 & 0 & 4\end{pmatrix},e T(v)=A v. Produto por matriz preserva soma e escala, logo T é linear.
Da segunda equação: y=-2x\].
- Substituo na primeira: \(x+2(-2x)-z=0 \Rightarrow x-4x-z=0 \Rightarrow -3x-z=0 \Rightarrow z=-3x.
- Verifico a terceira equação com essas relações: 3x+4z=3x+4(-3x)=3x-12x=-9x. Para que a terceira seja zero precisamos de -9x=0\Rightarrow x=0.
- Se x=0 então y=0 e z=0. Logo a única solução é o vetor nulo.
- Portanto \ker(T)=\{0\} e a nulidade é 0.
Posto (rank) e imagem:
Como \ker(T)=\{0\} e o domínio tem dimensão 3, pelo teorema dimensão a imagem tem dimensão 3. Assim \operatorname{Im}(T) é um subespaço de \mathbb{R}^{3} de dimensão 3, ou seja \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3} e o posto é 3.
Confirmação adicional: \det(A)=-9 (cálculo rápido por expansão), diferente de zero, o que implica que A é invertível e o posto é 3.
Injetividade / bijetividade:
\ker(T)=\{0\} implica que T é injetora; como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão e o posto é 3, T é também sobrejetora. Portanto T é bijetora (inversa linear existe).]
Passo 5
Temos T dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(r^{2},\,-2\theta), com \mathrm{T}(0)=0.
Observação importante sobre coordenadas polares:
Um vetor no plano em coordenadas polares é representado por (r,\theta) com r\ge 0 e \theta ângulo. Se eu multiplicar o vetor por um escalar c, o novo raio é |c|r e o ângulo é \theta se c>0, mas se c<0 o ângulo muda em \pi. Então a relação entre escala no vetor e escala nas coordenadas polares não é simplesmente (cr,\;c\theta).
Contraexemplo simples que prova não linearidade:
Tome um vetor com r=1 e \theta=0. Então T(1,0)=(1^{2},-2\cdot 0)=(1,0).
Escale esse vetor por 2: o vetor 2\cdot(1,0) tem coordenadas (2,0) em polares. EntãoT(2\cdot(1,0))=T(2,0)=(2^{2},-2\cdot 0)=(4,0).
Por outro lado, 2\cdot T(1,0)=2\cdot(1,0)=(2,0).
Como T(2\cdot v)\neq 2\cdot T(v), a homogeneidade falha e T não é linear.
Além disso, o componente r^{2} é claramente não-linear (é quadrático em relação às coordenadas cartesianas). O componente angular -2\theta também não se comporta linearmente sob multiplicação por escalar por conta da natureza angular.
Portanto T em (d) não é transformação linear.
Passo 6
Vou usar a transformação do item (c) (porque ela é um bom exemplo de transformação linear entre espaços de mesma dimensão e invertível). Dados já obtidos:
Núcleo: \ker(T)=\{0\}.
Imagem: \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
Nulidade: \dim(\ker(T))=0.
Ordem (posto/rank): \dim(\operatorname{Im}(T))=3.
Bijetividade: sim, T é bijetora (injetora e sobrejetora), pois \det(A)=-9\neq 0.
Resposta
(a) Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar c, valem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u). O núcleo é \ker(T)=\{v\mid T(v)=0\}.
(b) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com \mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+2z,\;4x+y-z) é linear.
(c) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} com \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x+y,\;3x+4z) é linear.
(d) \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(r,\theta)=(r^{2},\,-2\theta) não é linear.
(e) Para a transformação do item (c): \ker(T)=\{0\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}. Nulidade =0. Ordem (posto) =3. A transformação é bijetora.